§ 62. Полное описание центра для группы GL(n)

Если нас интересует задача о полном описании центра 3 в универсальной обертывающей алгебре X, то удобнее всего обратиться к симметризованной форме записи элементов Положим

где оператор симметризации по индексам введенный в § 58. Полученный символ уже не зависит от порядка расположения индексов Напомним, что такие элементы образуют базис в

Умножение с кружочком можно по правилу дистрибутивности продолжить также на любые элементы Очевидно, это умножение коммутативно. Если поставить в соответствие каждому элементу числовое произведение где вспомогательные независимые переменные, то мы получаем взаимно однозначное соответствие между X и алгеброй всех полиномов от Для того чтобы это соответствие не зависело от выбора базиса, достаточно предположить, что ковариантные координаты в самой алгебре В этом смысле будем писать

Заметим, что введенное соответствие между является мультипликативным, если под умножением в X понимать умножение с кружочком.

Выясним теперь, какой подалгебре в X) соответствует центр Для решения этого вопроса нам будет удобно отказаться от чисто инфинитезимального рассмотрения и считать, что X — алгебра Ли некоторой группы G.

Если в группе G осуществляется внутренний автоморфизм то этот автоморфизм вызывает также преобразование в классе касательных векторов В частности, если матричная группа, то

Подставляя в это выражение и разлагая правую часть в степенной ряд по получаем, что

т. е. представление является главной линейной частью (дифференциалом) Представление называется присоединенным представлением группы G.

Если ковариантные координаты в алгебре X, то представление вызывает также преобразование в классе этих координат. Формула

определяет представление группы G в алгебре X). Если рассматривать только линейные формы то они преобразуются контравариантно и представление совпадает в данном случае с представлением Следовательно, продолжает на алгебру

Вычислим дифференциал представления Если -линейная форма, то, как мы знаем, этим дифференциалом является . В общем случае мы вычисляем инфинитезимальные операции представления по индукции как производные в точке произведения некоторого числа линейных форм. В силу «правила дифференцирования», введенного в § 58, это приводит к тому же результату, что и определение в алгебре Следовательно, в алгебре X является дифференциалом

Замечание. Из полученного результата, в частности, следует что представление совпадает с представлением

где — симметризованная часть представления сомножителей). Эта запись уточняет замечание, сделанное в § 59.

Напомним теперь, что 3 состоит по определению из всех инфинитезимальных инвариантов Следовательно, 3 есть совокупность всех инвариантов представления Сформулируем полученный результат в виде следующей общей теоремы:

Теорема 4. Взаимно однозначное соответствие между алгеброй X и алгеброй всех полиномов от ковариантных координат в алгебре X приводит к соответствию между центром 3 и алгеброй всех полиномов, инвариантных относительно присоединенного представления в

В частности, если X — алгебра Ли группы то всякий элемент записывается в виде где стандартный базис, и всякая линейная форма записывается в виде где матрица составлена из вспомогательных переменных, заменяющих базис Преобразование контрагредиентно преобразованию в классе переменных Следовательно,

в классе всех полиномов от переменных

При этом рассматриваются только «аналитические» полиномы (зависящие от но не от

Задача описания центра 3 сводится теперь к задаче описания всех решений системы уравнений

в классе полиномов В частности, такими полиномами являются элементы

Известно, что любой инвариантный полином является в этом случае полиномом от Иначе говоря, являются образующими в алгебре всех инвариантных полиномов.

Возвращаясь от переменных снова к базисным элементам получаем

Следствие 1. Операторы Казимира

являются образующими центра 3 в случае группы

Заметим теперь, что полиномы имеют одинаковую старшую компоненту:

где символ был введен в § 58 для элементов Действительно, оба эти полинома принимают одно и то же значение при формальной подстановке вместо Отсюда ясно, что системы выражаются друг через друга полиномиально и рекуррентно. В результате получаем также

Следствие 2. Операторы Казимира также являются образующими центра 3 в случае группы

Последнее утверждение представляет для нас интерес хотя бы в том отношении, что свойства симметрии, найденные нами в § 60, переносятся теперь на произвольный оператор Казимира

Следствие 3. Собственное значение всякого оператора Казимира является симметрическим полиномом от параметров