§ 60. Собственные значения операторов Ck

Пусть инфинитезимальные операторы представления Вводя обозначение

докажем вначале, что имеет место

Лемма 1. Если старший вектор представления то

где константа зависит от сигнатуры а.

Доказательство. Напомним, что операторы обладают теми же трансформационными свойствами по отношению к присоединенному представлению, что и Отсюда следует, как и в § 44, то если весовой вектор с весом К, то также весовой вектор с весом

где корень алгебры X, введенный в § 44. Поскольку при то равенство вытекает из максимальности старшего веса. Поскольку то

равенство следует из единственности направления старшего вектора. Лемма доказана.

Поскольку то для вычисления достаточно вычислить все собственные значения операторов Представим каждый такой оператор в виде

где для краткости положено Если то слагаемое этой суммы обращается в нуль на векторе . Если то тот же эффект достигается (в силу леммы 1 для ) при перестановке сомножителей в результате этой перестановки возникает добавочный член

Следовательно, если каждый диагональный оператор заменить соответствующим собственным значением, то мы получим равенство

которое выражает собственные значения операторов через собственные значения операторов Проводя индукцию по сформулируем окончательный результат в виде леммы:

Лемма 2. Если матрица а определяется равенством

где - символ Кронекера и то собственное значение имеет вид

т. е. является суммой матричных элементов, расположенных в строке матрицы

Доказательство. Индуктивное соответствие между может быть переписано в виде

где матрица, определенная в условиях леммы. Мы можем использовать это соответствие также и при считая, что Понижая степень выражаем через

что и совпадает с указанной выше формулой. Лемма доказана.

Следствие.

Заметим, что матрица а является верхней треугольной и имеет вид

где собственные значения связаны с параметрами сигнатуры а формулой

Окончательное выралсение для мы можем также записывать в виде

где квадратная матрица, все элементу которой равны единице,

Полученная формула дает уже достаточно простой алгоритм для вычисления собственных значений При помощи этой формулы мы сумеем также получить и несколько более явное выражение для

Теорема 2. Собственное значение оператора Казимира в представлении имеет вид

где матрица а задается формулой и постоянная матрица, все элементы которой равны единице. Функция может быть также выражена через параметры с помощью формулы

где коэффициенты выражаются рационально через

Доказательство. Первая часть теоремы нами уже доказана. Далее, заметим, что матрица а имеет различные собственные значения. Следовательно, она может быть приведена к диагональному виду:

где диагональная матрица I имеет элементы Положим тогда имеем

где диагональные элементы матрицы Для явного вычисления этих коэффициентов достаточно выписать преобразующие матрицы

Запишем матрицу а в следующей блочной форме:

где - аналогичная матрица порядка собственными значениями етрлбец из

одинаковых чисел, равных —1, и Пусть матрица у приводит к диагональной форме:

где V — диагональная матрица с элементами Тогда нетрудно проверить, что искомая матрица х может быть представлена в виде

где предполагается, что оператор применяется к вектору с. В частности, если то мы находим

В общем случае замечаем, что результаты вычисления при сохраняют силу также и при для столбцов с номерами (именно эти столбцы входят в матрицу ). В то же время столбец с номером выражается через предыдущие столбцы по формуле

где при Вводя для краткости обозначение замечаем, что сумма отличается лишь множителем от Отсюда находим

Начиная с элемента и продвигаясь вдоль строки направо, получаем в результате

При этом матрица х является верхней треугольной с единицами на главной диагонали.

Вычисление матрицы можно несколько упростить, если заметить, что

Теперь уже путем элементарных вычислений нетрудно получить искомую формулу для коэффициентов Теорема доказана.

Из найденных формул для с к первая непосредственно приводит к полиному, вторая — лишь к рациональной функции от Однако вторая формула содержит замечательную информацию о структуре функций

Следствие 1. Все собственные значения являются симметрическими полиномами от

Действительно, всякая перестановка этих чисел ведет к одновременной перестановке степеней и соответствующих коэффициентов Отсюда в свою очередь нетрудно получить

Следствие 2. В классе собственных значений операторов Казимира для группы содержатся все симметрические полиномы от

Действительно, достаточно доказать это утверждение для степенных сумм Ньютона

через которые, как известно, всякий симметрический полином выражается полиномиально. Записывая матрицу а из теоремы 2 в виде где диагональная часть с собственными значениями постоянная матрица, находим, что разность

есть симметрический полином степени Следовательно, рассуждая индуктивно, заключаем, что выражается через полиномиально (и рекуррентно). Следовательно, содержится в классе собственных значений операторов Казимира.

Следствие 3. Если то оператор Казимира выражается полиномиально через

Действительно, суммы Ньютона а вместе с ними и функции являются образующими в классе симметрических полиномов. Следовательно, существует такой полином что оператор

обращается в нуль на всех неприводимых представлениях Но тогда он обращается в нуль и в правом регулярном представлении, определенном в классе полиномов на G. Поскольку это представление является точным для алгебры то

В заключение отметим, что есть коэффициент при в разложении функции

по степеням вспомогательной переменной Вводя обозначение

и разлагая это произведение в сумму простых дробей, легко находим, что оно совпадает с выражением Следовательно,

Из полученной формулы особенно отчетливо видна симметрия собственных значений по