§ 32. Гармонический анализ на однородном многообразии

Теперь мы можем перейти к рассмотрению произвольного однородного многообразия X с компактной группой движений G. Применяя конструкцию § 17, условимся сразу рассматривать X в виде фактор-пространства где стационарная подгруппа некоторой фиксированной точки из Напомним, что в этой конструкции каждая точка рассматривается как гиперповерхность вида где фиксированный элемент из G. Всякую функцию на пространстве X мы можем рассматривать как функцию на группе инвариантную относительно левых сдвигов на элементы

из Условие

в этом классе функций выделяет гильбертово пространство функций которое мы обозначим (можно было бы также по мере Хаара построить соответствующую меру на X и определить пространство независимо). Следующее утверждение, получаемое как следствие из глобальной теоремы, решает задачу гармонического анализа в классе

Теорема 2. Пусть произвольное неприводимое представление группы унитарное в базисе первые элементов которого образуют базис в подпространстве всех инвариантов относительно подгруппы И. Определяя матричные элементы относительно этого базиса, введем обозначение для множества всех элементов

соответствующих первым строкам матрицы Пусть объединение всех по всевозможным неприводимым х (определяемым с точностью до эквивалентности) Тогда система является полной ортогональной системой в пространстве и элементы из имеют одинаковую норму, равную (при условии, что мера нормирована соотношением

Доказательство. Достаточно проверить, что коэффициенты Фурье функции

получаемой как продолжение функции на группу равны нулю при В силу

инвариантности функции и меры относительно левых сдвигов на элементы из имеем

Поскольку система состоит из инвариантов группы то линейная оболочка дополнительных элементов инвариантна относительно Я (инвариантность ортогонального дополнения); следовательно, в данном базисе матрица имеет вид

где разбиение на блоки соответствует разбиению базиса на элементы с номерами и Следовательно, если то получаем

где матричные элементы представления Интегрируя обе части полученного равенства по мере Хаара на группе , замечаем, что

ибо представление не содержит инвариантов группы И (все такие инварианты относятся к базису В результате

Теорема доказана.

Таким образом, существует универсальная конструкция для классификации функций на произвольном однородном многообразии X с компактной группой движений G (очевидно, X в этом случае также компактно). В частности, всякая непрерывная функция на X допускает разложение в «ряд Фурье». Привлекая дополнительные построения (см. добавление I, § 2), нетрудно также показать, что чем сильнее гладкость функции тем быстрее сходится соответствующий ряд Фурье.