§ 33. Характеры

Если компактная группа, то для каждой пары функций их свертка

снова квадратично интегрируема, т. е. Следовательно, пространство является алгеброй относительно этой свертки. То же самое можно сказать о пространстве всех непрерывных функций на группе G. Представляет интерес, с точки зрения теории представлений, найти центр 3 алгебры т. е. совокупность всех функций, перестановочных (относительно свертки) с произвольными функциями из Производя несложное вычисление, получаем, что условие

выполняемое при всех необходимо и достаточно для принадлежности функции центру Всевозможные точки получаемые внутренними автоморфизмами из точки называются сопряженными между собой; совокупность всех таких точек (при фиксированном называется классом сопряженных элементов. Таким образом, условие можно выразить, сказав, что функция постоянна на каждом классе сопряженных элементов.

Примером функции такого типа является функция

где произвольное (конечномерное) представление группы G. В частности, если оператор неприводимого представления то для соответствующей функции введем обозначение

Функция называется характером представления 6. Следствием глобальной теоремы является

Теорема 3. Всякая функция постоянная на классах сопряженных элементов, разлагается в ряд Фурье по характерам неприводимых представлений группы G.

Доказательство. Условие мы можем представить в виде

где соответственно левое и правое регулярное представление группы G. Применяя это условие, получаем, что каждая матрица состоящая из коэффициентов Фурье функици удовлетворяет тождеству

т. е. перестановочна с операторами неприводимого представления но тогда по лемме Шура эта матрица кратна единичной, и ряд Фурье для функции принимает вид

(см. общий вид такого ряда в § 30). Теорема доказана.

Кроме того, из ортогональности матричных элементов получаем следствие:

т. е. система 2 всех характеров является ортонормированной системой.

Характеры играют замечательную роль в теории представлений группы G. Действительно, как мы видели в § 22, со всяким представлением группы G связано представление

групповой алгебры группы в частности алгебры Если при этом то ясно, что оператор перестановочен со всеми операторами представления а потому и со всеми операторами Следовательно, если неприводимо, то оператор кратен единичному, а если вполне приводимо, то диагонализуется в соответствующем базисе. В частности, если положим

то операторы как легко проверить (доказательство предоставляется читателю), являются проекционными операторами, каждый из которых проектирует все пространство V представления на максимальное подпространство V представление в котором кратно 6. При этом, очевидно, при и

где I — единичный оператор в пространстве Следовательно, операторы осуществляют разложение представления на представления, кратные неприводимым.

Несмотря на то, что практическое вычисление проекторов далеко не всегда является легким, мы получаем (в сочетании с принципом полной приводимости) универсальное решение проблемы спектрального анализа.