§ 78. Метод Z-инвариантов

Попробуем теперь применить к решению нашей задачи метод Z-инвариантов. Если каждое из представлений записывать в Z-реализации, то их тензорное произведение запишется в классе полиномов от двух матриц

При этом пространство представления выделяется из пространства всех полиномов с помощью двух индикаторных систем: системы по переменным каждом фиксированном и системы по переменным у (при каждом фиксированном

Следуя общей схеме метода, мы сужаем представление на подгруппу Z и решаем задачу нахождения инвариантов операторов Иначе говоря, решаем систему уравнений

(Напомним, что Полагая находим, что

где единичная матрица. Полагая мы запишем полученное решение в виде

Следовательно, всякий Z-инвариант выражается через функцию от одной матричной переменной. Обратно, всякая функция вида принадлежащая является Z-инвариантом.

Теорема 3. Пусть Пусть инфинитезимальный оператор левого сдвига на группе Z, отвечающий элементу инфинитезимальный оператор правого сдвига на Z, отвечающий тому же элементу. Обозначим пространство всех решений системы уравнений

Формула осуществляет взаимно однозначное отображение между старшими векторами и решениями этой системы, для которых выполняется добавочное весовое условие

При этом старший вектор имеет вес

Доказательство. Согласно сделанному выше построению достаточно выписать условия принадлежности вектора пространству и выделить затем среди таких векторов весовые. Согласно определению индикаторных систем пространство выделяется следующей системой уравнений:

Здесь инфинитезимальные операторы левого сдвига, действующие только на х и только на у (соответственно) и отвечающие матрице . В применении к вектору оператор равносилен (Действительно, инфинитезимальные левые сдвиги перестановочны с умножением справа на ) В то же время оператор

при подстановке переходит в оператор Действительно, полагая замечаем, что следовательно, Таким образом, мы действительно получаем систему уравнений, указанных в условиях теоремы. Вектор является весовым, если Вспоминая правило действия диагональных операторов находим, что

Заменяя на видим, что это условие равносильно соотношению

где Таким образом, старший вес вычисляется по формуле Теорема доказана.

Замечание 1. Пусть строка матрицы тогда оператор может быть сокращенно записан в

виде

где имеется в виду формальная свертка векторов Точно так же

где означает столбец матрицы

Замечание 2. Запишем весовое условие в терминах показателей или «инфинитезимальных весов». Положим и введем вектор такой, что при Тогда сигнатура вычисляется по формуле

Знак минус, выбранный в этой формуле, соответствует тому соображению, что мультипликаторы должны понижать веса (в терминах лексикографической упорядоченности). Сигнатура а является самой старшей

Полученный критерий дает нам способ описания всех старших векторов, откуда непосредственно могут быть найдены также все сигнатуры, входящие в Желая получить такую информацию в более явном виде, введем следующее определение. Пусть -пространство неприводимого представления и - подпространство всех весовых векторов со старшим весом Мы имеем

в соответствии с обозначением § 77 для весовой диаграммы Определим теперь в подпространство с помощью следующей системы уравнений:

Здесь — инфинитезимальный оператор представления отвечающий элементу

в обозначениях гл. VI). Заметим, что это определение не зависит от реализации

Теорема 4. Кратность , с которой неприводимое представление содержится в может быть выражена формулой

где пространство определяется выше и вес X, входящий в связан с сигнатурой у соотношением

Доказательство. В реализации на группе Z пространство выделяется индикаторной системой следовательно, согласно теореме 3 пространство можно рассматривать как подпространство в При этом выделяется в второй подсистемой уравнений из теоремы 3, где оператор как оператор правого сдвига, может быть заменен на 55, Следовательно, выделяется в системой Если вектор имеет вес то это означает, что в представлении он имеет вес В то же время соответствующий старший вектор имеет вес Сравнивая эти формулы, находим, что терминах инфинитезимальных весов мы имеем Теорема доказана.

Следствие 1. где

Следствие 2. если условие выполняется тождественно на

Заметим, что в реализации на группе Z все полиномы из имеют старшую степень Если то условие выполняется тождественно на всем и в этом случае наша формула принимает наиболее простой вид:

для всех весов X из представления