§ 99. Алгебраические группы

Множество называется алгебраическим многообразием, если оно выделяется из V некоторой системой полиномиальных соотношений

Здесь А — произвольное множество индексов. Соответствующее множество полиномов называют иногда определяющей системой многообразия Z.

Пусть -совокупность всех полиномов обращающихся в нуль на многообразии Z. Тогда, очевидно, является идеалом и, следовательно (по теореме Гильберта), порождается некоторым числом образующих Следовательно, можем считать, не ограничивая общности, что определяющая система является конечной.

Линейная группа G называется алгебраической, если она выделяется из некоторой системой

полиномиальных соотношений

Иначе говоря, если — множество всех матриц то группа G является пересечением с некоторым алгебраическим многообразием в

Докажем, что имеет место

Теорема 3. Всякая компактная линейная группа является алгебраической.

Доказательство. Если рассматривать группу G как группу преобразований в линейном пространстве то G совпадает, очевидно, с орбитой единичной точки Следовательно, G выделяется из системой полиномиальных соотношений

где - произвольный инвариантный полином (т. е. такой, что Действительно, группа G компактна, и поэтому к ней применима теорема 2: две точки лежат на одной орбите тогда и только тогда, когда для всех инвариантных полиномов Теорема доказана.

Замечание. Как следует из доказательства теоремы, компактная группа G может быть непосредственно определена как алгебраическое многообразие в без дополнительного ограничения о невырожденности матрицы Впрочем, это ясно также из известного нам включения

Поскольку всякая компактная группа Ли изоморфна линейной, то из теоремы 3 получаем также

Следствие. Всякая компактная группа Ли алгебраична (с точностью до изоморфизма).

С другой стороны, оказывается, что в классе линейных групп предположение о том, что компактная группа является группой Ли, излишне. В Действительности имеет место

Теорема 4. Всякая алгебраическая группа является группой Ли.

Доказательство [15]. Пусть идеал, составленный из полиномов, равных нулю на система образующих в этом идеале. Рассмотрим матрицу составленную из частных производных Если ранг этой матрицы в точке то мы условимся считать (не ограничивая общности), что первые строк этой матрицы содержат минор А, отличный от нуля в точке Тогда также в некоторой окрестности точки Систему уравнений можно разрешить в некоторой окрестности точки относительно тех переменных индексы которых содержатся в миноре При этом получаемые функции выражаются аналитически через и остальные координат Следовательно, мы получаем локальную систему координат

в некоторой окрестности точки где дополнительные координаты, в качестве которых можно, например, взять координаты индексы которых не содержатся в миноре Полагая получаем в некоторое алгебраическое многообразие которое, очевидно, содержит группу G. Каждая точка этого многообразия, достаточно близкая к допускает аналитическую параметризацию

При этом, очевидно, если то параметры матрицы аналитически выражаются через параметры х и у.

Покажем, что и действительности оба многообразия имеют общую окрестность точки Иначе говоря, существует окрестность такая, что Отсюда будет следовать, что группа Ли.

Заметим вначале, что при каждом множество также является системой образующих в идеале У. Следовательно,

где некоторые полиномы от матрицы х. Поскольку на группе то мы имеем также

для каждой точки Отсюда заключаем, что ранг не превосходит ранга Заменяя х на заключаем, что ранг постоянен на всей группе G. Следовательно, если А — построенный выше минор, то всякий минор, окаймляющий обращается в нуль тождественно на всей группе G. Следовательно, он содержится

в идеале Отсюда следует, что всякая производная может быть выражена через первые таких производных по формуле

где полиномы от х и многоточие означает слагаемое, принадлежащее идеалу Далее, пусть кривая в многообразии проходящая через точку при Поскольку вдоль этой кривой переменные постоянны, то и мы имеем

где многоточие означает элемент из Следовательно,

ибо полиномы от, являются образующими в При этом ибо точка содержится в группе G. Согласно геореме единственности заключаем из полученного уравнения, что в некоторой окрестности вида

Следовательно, т. е. Теорема доказана.

Покажем теперь, что свойство алгебраичности сохраняется при переходе от компактной группы G к ее (правильной) комплексной оболочке.

Теорема 5. Пусть компактная линейная группа и ее правильная комплексная оболочка. Тогда G является алгебраической группой Ли над полем комплексных чисел.

Доказательство. Условимся считать, что действуют в одном и том же комплексном пространстве V (если с самого начала это было не так, то G выделяется условием вещественности всех ее матриц в

некотором базисе пространства V). Согласно принципу аналитического продолжения группы обладают одинаковым запасом инвариантов в классе (аналитических) полиномов. В то же время при переходе от число орбит может только уменьшиться. Следовательно, для G имеет место аналог теоремы 2; но тогда и доказательство теоремы 3 переносится без изменения. Теорема доказана.

В заключение отметим без доказательства следующий критерий связности алгебраической группы G над полем комплексных чисел ([46], т. 2, стр. 239): группа G является связной тогда и только тогда, когда из равенства (для любых полиномов на группе G следует, что либо либо на группе G.

Упражнения

(см. скан)