§ 123. Формула Вейля для характеров

В этом параграфе мы приводим чисто алгебраическое доказательство формулы Вейля, принадлежащее Фрейденталю, для характеров неприводимых конечномерных представлений алгебры Если встать на алгебраическую точку зрения, то характер представления может быть определен с помощью формулы

где - формальный символ, определенный в классе весов и удовлетворяющий мультипликативному соотношению

Иначе говоря, мы можем рассматривать как элемент ассоциативной алгебры с единицей и образующими где дуальные векторы для Действительно, всякий вес имеет целые координаты в дуальном базисе № (каждая из этих координат является «числовой

отметкой» (§ 109) на одном из простых корней Над полем комплексных чисел мы можем также положить

где положено и Однако алгебраическое определение удобно в том отношении, что «формальная экспонента» может быть определена над произвольным полем.

Веса конечномерных представлений алгебры X мы будем также иногда называть целочисленными векторами. Заметим, что каждый корень является весом (весом присоединенного представления алгебры X). Положим

Здесь мы нарушили предыдущие соглашения, поскольку вообще говоря, не является весом. Однако нетрудно видеть, что определение элемента может быть также дано в следующей корректной форме:

где — полусумма положительных корней. Первое определение обладает тем преимуществом, что из него непосредственно очевидна кососимметричность по отношению к группе Вейля. Действительно, положим

для каждого из группы Вейля и распространим определение оператора по линейности на все линейные комбинации экспонент. Если рефлексия по направлению простого корня то оператор меняет знак у скобки и переставляет все остальные скобки между собой. Следовательно, и отсюда для всякого Мы условимся записывать характер в виде отношения т. е. вместо введем новую искомую функцию

Из симметричности весовой диаграммы по отношению к группе Вейля следует симметричность характера Из

симметричности и антисимметричности следует также антисимметричность

Лемма где полусумма положительных корней.

Доказательство. Рассмотрим вначале произвольную антисимметрическую функцию -Скажем, что функция является элементарной, если веса, входящие в ее разложение, лежат на одной орбите относительно группы Вейля. В этом случае среди таких весов имеется лишь один доминантный вес и все остальные веса получаются из него преобразованиями группы Вейля. Очевидно, в этом случае

где А означает оператор альтернирования: порядок группы Вейля). Замеим, что оператор А удовлетворяет тождеству для всякой рефлексии по направлению корня Следовательно, если при некотором то откуда следует, что в этом случае

Вектор мы условимся называть строго доминантным, если все его числовые отметки положительны. В результате мы видим, что всякая элементарная функция определяется (с точностью до множителя) своим единственным строго доминантным весом Очевидно также, что всякая кососимметрическая функция является линейной комбинацией элементарных.

Покажем теперь, что функция является элементарной. Действительно, все веса, входящие в разложение имеют вид где сумма некоторых

положительных корней. Если вектор является строго доминантным, то

(числовые отметки вектора равны единице). Как следует из определения вектора его числовые отметки являются целыми. Следовательно, С другой стороны, коэффициенты в разложении по простым корням неотрицательны и отличаются лишь положительными множителями от дуальных координат . Следовательно, откуда Мы показали, что вектор является единственным строго доминантным среди весов в разложении Разность кососимметрична и не содержит ни одного строго доминантного веса, откуда Лемма доказана.

Пусть алгебра всех функций, которые являются линейными комбинациями экспонент, и множество всех вектор-функций где фиксированный базис в картановской алгебре Мы определим отображения называемые соответственно градиентом и лапласианом в Е:

с линейным продолжением на всю алгебру Из мультипликативного соотношения для экспонент вытекает обычное правило дифференцирования и соотношение

где скалярное произведение двух элементов из определяется так же, как и в картановской алгебре с заменой числовых коэффициентов коэффициентами из Докажем теперь еще одну лемму, которая является основной для нашего изложения.

Лемма 2. Функция удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению:

Доказательство. Используем формулу полученную в предыдущем параграфе при доказательстве

формулы Фрейденталя. Умножая обе части этой формулы на экспоненту и суммируя по находим

Умножим обе части этого равенства на функцию

Заметим, что если фиксировать корень а и положить ), то общий член под знаком тройной суммы принимает вид

Суммируя по от до заметим, что суммарный коэффициент при экспоненте равен

Суммируя теперь по замечаем, что выражение совпадает с градиентом функции С другой стороны, суммируя по замечаем, что выражение совпадает с градиентом характера В результате имеем

Из определения функций следует, что Следовательно, и скалярный множитель можно вынести за знак скалярного произведения. Сокращая на получаем следующее тождество:

Согласно отмеченному выше общему правилу для лапласиана выражение в правой части есть находим

Остается заметить, что в силу леммы 1. Кроме того, в предыдущем параграфе было найдено следующее выражение для множителя у. Подставляя все эти выражения, получаем нужный результат. Лемма доказана.

Теперь уже нетрудно найти явный вид элемента Функция является линейной комбинацией экспонент где произвольный вес представления Каждая из этих экспонент является собственным вектором лапласиана с собственным значением Ввиду линейной независимости собственных подпространств оператора каждое слагаемое должно иметь то же собственное значение, что и вся функция Следовательно, Как мы видели в конце § 122, это возможно только в случае т. е. Следовательно, является элементарной функцией с единственным строго доминантным весом Следовательно, Сравнивая коэффициенты при заключаем, что . В результате доказана следующая

Теорема 5. Характер неприводимого конечномерного представления может быть представлен в виде отношения двух элементарных функций:

где X — старший вес представления — полусумма всех положительных корней. Преобразование пробегает группу Вейля, и

Над комплексным полем мы можем заменить настоящей экспонентой Осуществляя, как и в § 73, предельный переход при получаем следующую формулу для размерности:

Здесь размерность представления Мы преобразуем эту формулу следующим образом. Каждый корень а представим в виде суммы простых корней. Каждый вектор разложим по базису дуальному к векторам

Координаты являются числовыми отметками векторов X и 6: Следовательно, числа являются целыми неотрицательными. Далее, нормируем простые корни а таким образом, чтобы числа принимали значения 1, 2, 3. Поскольку и базисы дуальны друг другу, то мы имеем

где числа определяются из разложения произведение берется по всем последовательностям для которых а является корнем.

Замечание. Имея дело с классическими группами, гораздо удобнее пользоваться теми координатами старшего веса которые были введены исходя из основного линейного представления этих групп для для Например, для мы имеем

где и знаменатель получается из числителя подстановкой Соответствующая размерность имеет следующий простой

вид

где получается из числителя подстановкой

Более подробную информацию по всем этим вопросам можно найти в книге Вейля [10], где вычисление характеров производится интегрально и где для каждой классической группы получается также аналог «второй формулы Вейля», доказанной нами для группы