ГЛАВА XVII. ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ (ХАРАКТЕРЫ, ВЕСА, ОПЕРАТОРЫ КАЗИМИРА)

Если ограничиться изучением представлений полупростой комплексной алгебры Ли, то все основные результаты, касающиеся классификации неприводимых представлений, их внутренней структуры (в том числе симметрии относительно группы Вейля), собственных значений операторов Казимира и т. д., могут быть получены чисто алгебраически. На этом пути удается также получить независимое доказательство принципа полной приводимости (§ 61) и чисто алгебраический вывод формулы Вейля для характеров неприводимых представлений. Помимо вычисления характеров удается также получить некоторую (далеко не полную) информацию о весовой диаграмме неприводимого представления.

Естественно, что при решении этих задач основным инструментом является универсальная обертывающая алгебра, т. е. ассоциативная оболочка изучаемой алгебры Ли.

§ 119. Разложение Картана-Вейля в универсальной обертывающей алгебре

Всюду на протяжении этой главы символом X будет обозначаться полупростая комплексная алгебра Ли и символом ее универсальная обертывающая алгебра (§ 58), т. е. ассоциативная оболочка над полем комплексных чисел. В алгебре X раз навсегда фиксируются картановская подалгебра и корневые векторы с законом коммутации

В алгебре фиксируется лексикографическая упорядоченность и выделяются простые корни (которые образуют базис в ). Линейные оболочки векторов обозначаются соответственно символами Напомним, что нильпотентные алгебры Ли с образующими где простой корень,

Разложение алгебры X в прямую сумму трех подалгебр мы называли в гл. XV разложением Картана — Вейля в алгебре Следующая теорема обобщает это разложение на универсальную обертывающую алгебру :

Теорема 1. Универсальная обертывающая алгебра полупростой комплексной алгебры Ли может быть записана в виде

где ассоциативные оболочки подалгебр и произведение ассоциативных подалгебр понимается как линейная оболочка всевозможных произведений элементов этих подалгебр (в указанном порядке умножения).

Доказательство. Достаточно проверить, что каждый одночлен от элементов расположенных в произвольном порядке, может быть приведен с помощью соотношений коммутации к виду

где с точностью до слагаемых меньшей степени однородности. Если базисные элементы считать занумерованными в некотором порядке, то все одночлены от этих элементов также снабжаюття естественной упорядоченностью, и наше утверждение легко доказывается методом конечной индукции путем понижения степени одночлена.

Теорема доказана.

Полученное разложение мы будем называть разложением Картана — Вейля в алгебре Очевидно, это разложение является аналогом разложения Гаусса в группе G.

Замечание. Напомним, что алгебры инвариантны относительно картановской подалгебры Отсюда также нетрудно заключить, что алгебры инвариантны относительно подалгебры т. е.

для каждой пары элементов Следовательно, разложение Картана — Вейля мы можем также записывать в одном из следующих видов:

Вместо элементов мы будем рассматривать иногда образующие алгебры X, которые определяются следующим образом. Положим, прежде всего,

простые корни алгебры Далее, заменим векторы коллинеарными векторами так, чтобы выполнялись соотношения коммутации

Заметим, что если простые корни, то вектор не может быть корнем (см. § 93). Отсюда следует, что при Векторы являются образующими в подалгебрах Далее, имеем

где структурная матрица Картана. Аналогичное соотношение выполняется для пары с заменой на В результате получаем следующую систему соотношений для элементов

Заметим, что эти соотношения вполне определяют структуру алгебры X (поскольку они содержат структурную

матрицу Картана). Элементы даже являются образующими во всей алгебре Эти образующие мы будем называть каноническими.

Заметим, что элементы являются образующими в ассоциативной алгебре Кроме того, элементы являются образующими в алгебре

Вещественную линейную оболочку всех векторов мы будем иногда обозначать символом