§ 2. Теорема Стоуна — фон Неймана

До сих пор мы имели дело только с коммутирующими семействами унитарных или эрмитовых операторов в гильбертовом

пространстве Одним из простейших примеров некоммутирующей системы является система эрмитовых операторов для которых

где единичный оператор в пространстве (операторы координаты и импульса в квантовой механике). Рассмотрение этого примера играет существенную роль также в развитии общей теории. Заметим вначале, что для всех натуральных откуда следует общая формула

для произвольных полиномов с заменой на где штрих в правой части означает дифференцирование по Естественно предположить, что сохраняет силу также для более широкого класса функций В частности, рассмотрим резольвенту в тех точках, где она определена. Имеем что совпадает с формулой при Но тогда формула сохраняет силу также для всевозможных полиномов от и также для сильных пределов таких полиномов (при условии, что имеет смысл). К последнему классу функций относится, в частности ([22]), однопараметрическая группа операторов Следовательно, откуда имеем

Из формулы следует, что спектр оператора заполняет всю действительную ось. Воспользуемся для спектральной теоремой, т. е. реализуем этот оператор как оператор умножения на х в классе вектор-функций интегрируемых с квадратом по мере

Из формулы следует, что вектор-функция имеет одинаковую размерность во всех точках х и мера совпадает с обычной лебеговой мерой. Следовательно, можно считать, что принимает значения в некотором фиксированном гильбертовом пространстве Пространство состоит при этом из всех таких

функций для которых где означает норму в пространстве Рассмотрим в оператор дифференцирования

(определенный на всюду плотном множестве в Тогда, как легко проверить, т. е. операторы удовлетворяют тем же коммутационным соотношениям, что и пара Следовательно, оператор перестановочен с Но тогда, как известно из спектральной теории, есть оператор умножения на некоторую функцию от переменной следовательно,

В силу эрмитовости функция действительна. В результате мы находим явное выражение для оператора Рассмотрим унитарный оператор Имеем Следовательно, после унитарного преобразования в пространстве мы получаем из пары пару операторов

Следовательно, с точностью до унитарной эквивалентности всякие два эрмитовых оператора удовлетворяющие соотношению коммутации сводятся к паре Это и составляет содержание известной теоремы Стоуна — фон Неймана. Разумеется, мы привели доказательство этой теоремы с некоторыми сокращениями.

Замечание. Нетрудно видеть, что уравнение не имеет никаких (эрмитовых или неэрмитовых) решений в классе конечномерных линейных операторов. Действительно, след левой части этого соотношения равен нулю, в то время как след правой части отличен от нуля.

Рассмотрим теперь группу всех треугольных матриц 3X3 с единицами на главной диагонали. Легко видеть, что алгебра Ли этой группы натянута на три базисных элемента с единственным нетривиальным соотношением коммутации Элемент является центральным. Пусть теперь образы элементов в некотором унитарном представлении В силу унитарности этого представления можно считать (на счет умножения на

что операторы эрмитовы. Если представление неприводимо, то оператор оказывается кратным единичному, и мы получаем соотношение коммутации

где единичный оператор в Если то и представление коммутативно. (При этом в силу неприводимости оно одномерно.) Если же то мы имеем, как и выше, с точностью до унитарной эквивалентности. Для соответствующих однопараметрических подгрупп получаем следующие формулы:

Таким образом, теорема Стоуна — фон Неймана позволяет получить описание всех, с точностью до унитарной эквивалентности, неприводимых унитарных представлений группы (Действительно, однопараметрические подгруппы порождают эти представления.) Мы видим, что всякое такое представление либо одномерно, либо бесконечномерно.

В первом случае представление задается двумя действительными скалярами к умножению на которые сводятся операторы В этом случае Во втором случае представление задается явными формулами причем результат классификации зависит от действительного числа Нетрудно проверить, что представления с различными при этом попарно неэквивалентны.

Геометрически множество всех неприводимых унитарных представлений группы можно отождествить с множеством всех плоскостей и множеством всех точек на плоскости в трехмерном евклидовом пространстве с координатами