§ 4. Теория Ли

Как уже отмечалось во введении, первоначальные результаты по теории групп Ли принадлежат норвежскому математику Софусу Ли. Однако в действительности Софус Ли изучал лишь некоторые группы диффеоморфизмов (гладких точечных преобразований) и все рассмотрения проводил локально. С современной точки зрения результаты Ли естественно формулируются для так называемых локальных групп Ли, определение которых будет дано несколько ниже.

Не имея возможности сколько-нибудь подробно остановиться на систематическом изложении теории Ли, мы ограничимся лишь кратким ее обзором и иллюстрацией следующего основного положения: теория Ли устанавливает замечательное соответствие между группами Ли и значительно более простыми алгебраическими объектами — так называемыми алгебрами Ли.

Коль скоро в группе есть понятия дифференцируемости и даже аналитичности, мы можем изучать строение группы локально, пренебрегая малыми величинами того или иного порядка; при этом в силу свойства однородности достаточно рассматривать окрестность единичного элемента Согласно общим принципам анализа мы прежде всего осуществляем линеаризацию, рассматриваем касательное пространство к многообразию G в точке (конструкция касательного пространства становится особенно наглядной, если G является гиперповерхностью в объемлющем евклидовом пространстве). Полученное линейное пространство X

является объединением всевозможных касательных прямых в точке Его размерность равняется где число параметров в группе G.

С каждым вектором мы связываем семейство дифференцируемых кривых, проходящих в G через точку и имеющих х своим касательным вектором. Желательно было бы выделить из этого семейства простейшую линию — аналог прямой в евклидовом пространстве. Естественно воспользоваться следующим эвристическим рассуждением.

Для любой точки существует серия Если точка допускает неограниченное извлечение квадратного корня то эта серия включается в семейство вида где произвольное двоично-рациональное число, причем имеем

Если при то неограниченно сближаются при В этом случае возможно построить непрерывное однопараметрическое семейство где К — произвольное действительное число, причем

Любое однопараметрическое семейство, удовлетворяющее этому мультипликативному соотношению и непрерывно зависящее от вещественного параметра X, называется однопараметрической подгруппой в группе Мы будем считать однопараметрические подгруппы аналогом прямых, проходящих через точку В теории групп Ли доказывается следующее важное утверждение.

Теорема А. Единичная точка в группе Ли всегда обладает окрестностью через каждый элемент которой проходит одна и только одна однопараметрическая подгруппа аналитически зависящая от

Проиллюстрируем эту теорему на примере матричной группы G. Как известно, если матрица достаточно близка к единичной матрице то представима в виде матричной экспоненты:

Поскольку экспоненциальный ряд в свою очередь сходится всюду, т. е. для произвольной матрицы х, мы получаем возможность заменить х на В результате получаем семейство

которое аналитически зависит от X, проходит через при через при и для которого выполняется мультипликативное соотношение

Замечание 1. Пусть норма вектора в -мерном пространстве -соответствующая норма матрицы определяемая по правилу

Тогда мы имеем для произвольных двух матриц Отсюда по индукции имеем В частности, отсюда следует, что экспоненциальный ряд мажорируется по норме числовым сходящимся рядом и мы заключаем о сходимости при произвольном х. Далее, если а, то мы положим

Полученный ряд мажорируется рядом следовательно, сходится при Как легко проверить, Мы показали, что искомая окрестность в группе О может быть выделена условием

Замечание 2. Покажем другим способом, используя аналитичность по X, что всякая однопараметрическая матричная группа имеет вид при некотором х. Действительно, из равенства при малом легко находим

где положено Продолжая дифференцирование, находим, что -кратная производная функции в точке равняется В результате

Наряду с теоремой А справедлива также следующая Теорема В. Пусть X — касательное пространство к группе G в единичной точке Тогда для каждого существует единственная однопараметрическая подгруппа, имеющая х своим касательным вектором. Семейство этих подгрупп может быть выбрано таким образом, чтобы

Полученная функция обозначается по аналогии с матричной экспонентой. Векторы определяют при этом систему параметров в некоторой окрестности точки Такие параметры называются каноническими.

Выясним теперь, как выражется закон умножения при помощи канонических параметров в группе G. Если ограничиться малыми первого порядка, то мы имеем для случая матричной группы

Следовательно, кривая имеет своим касательным вектором То же верно и для произвольной группы Ли. Однако мы теряем информацию о некоммутативности (поскольку сложение векторов коммутативно). Заметим также, что

т. е. возведению в степень соответствует (на этот раз уже точно) -кратное растяжение касательного вектора х.

Для того чтобы восстановить утраченную информацию о некоммутативности, построим из произвольных двух элементов элемент

называемый их коммутатором. Если то мы находим, пренебрегая малыми выше второго

порядка,

Выражение называется в алгебре коммутатором двух матриц х и у. Если рассматривать в качестве параметра на кривой то касательным вектором к этой кривой оказывается вектор [х, у].

Введем аналогичное определение для произвольной группы Ли. Тогда в касательном пространстве X возникает бинарная операция [х,у], по-прежнему называемая коммутатором и обладающая следующими свойствами:

Произвольное линейное пространство, наделенное такой структурой, называется алгеброй Ли. В частности, касательное пространство к -мерной группе Ли оказывается -мерной алгеброй Ли. Важнейшее значение этой связи показывает следующая

Теорема С. Пусть — два произвольных элемента из группы выраженные через канонические координаты. Если их произведение также может быть записано в виде то вектор выражается через векторы х и у с помощью операций сложения и взятия кратного коммутатора.

Заметим, что ехеу, где символ еж означает для краткости групповую экспоненту. Известно даже явное выражение функции Пусть скобка означает кратный коммутатор вида Тогда имеем

где суммирование ведется по всем неотрицательным целым значениям за исключением простейших случаев при которые выписаны отдельно в виде первых трех слагаемых. Полученный ряд называется рядом

Кемпбелла — Хаусдорфа (ввиду его сложности он редко используется в приложениях).

Следствие. Операция коммутирования в алгебре X определяет закон умножения в некоторой окрестности группы G.

Пусть произвольный базис в алгебре Ввиду билинейности операции [х, у], для ее определения достаточно знания парных коммутаторов Поскольку каждый такой коммутатор снова является элементом из X, то мы имеем

(сумма по от I до где коэффициенты разложения, называемые структурными константами. Ясно, что эти константы удовлетворяют некоторым соотношениям, вытекающим из антикоммутативности и тождества Якоби. Знание этих констант вполне определяет закон коммутации в алгебре

Следовательно, структурные константы вполне определяют также закон умножения в некоторой окрестности группы G.

Завершая обзор теории Ли, остановимся кратко на вопросе о связи между подгруппами в группе G и подалгебрами в алгебре Множество называется подалгеброй, если оно линейно и замкнуто относительно операции коммутирования.

Пусть замкнутая подгруппа в группе G. Тогда легко проверить, что касательное пространство к многообразию И в точке является подалгеброй в алгебре Обратно, всякой подалгебре отвечает (однако, вообще говоря, незамкнутая) подгруппа в группе называемая аналитической подгруппой. Замыкание может иметь размерность, большую размерности Это означает, что связь между подалгебрами в X и подгруппами в G не является взаимно однозначной.

Упражнения

(см. скан)