§ 121. Классификация конечномерных неприводимых представлений алгебры X

В предыдущем параграфе мы получили классификацию всех неприводимых представлений алгебры А, обладающих старшими векторами и не обязательно конечномерных. Каждое такое представление определяется с точностью до эквивалентности своим старшим весом Выясним, когда такое представление конечномерно.

1° Если представление со старшим весом X конечномерно, то числа должны быть целычи неотрицательными.

Доказательство. Если представление конечномерно, то циклическая оболочка старшего вектора относительно трехчленной подалгебры также конечномерна. Поскольку вектор является старшим относительно то проекция должна быть целой неотрицательной.

2° Если представление со старшим весом X конечномерно, то множество всех его весов инвариантно относительно группы Вейля.

Доказательство. Пусть произвольный вес представления Положим

где означает подпространство всех весовых векторов веса Тогда в действительности эта сумма является конечной и инвариантно относительно трехчленной алгебры Согласно теории представлений такой алгебры вместе с весом пространство должно содержать также вес относительно элемента Следовательно, среди весов должен содержаться такой вес что сумма ортогональна корню а Но тогда рефлексия из группы Вейля переводит

Следовательно, множество всех весов представления инвариантно относительно но тогда и относительно всей группы Вейля

Отбросим теперь условие конечномерности и взамен предположим, что числа все являются целыми неотрицательными. Покажем, что по-прежнему имеет место аналог утверждения 2°.

3° Если числа являются целыми неотрицательными, то множество всех весов представления о, инвариантно относительно группы Вейля.

Доказательство. Пусть циклическая оболочка старшего вектора относительно трехчленной подалгебры Поскольку целое неотрицательное число, то согласно результатам § 37 мы можем утверждать, что пространство конечномерно и неприводимо.

Далее, пусть произвольное конечномерное подпространство, инвариантное относительно 0. Положим Если то мы имеем

для каждого вектора и каждого элемента Следовательно, также является конечномерным подпространством, инвариантным относительно

Пусть линейная оболочка всех конечномерных подпространств, инвариантных относительно Тогда мы видим, что инвариантно относительно всей алгебры Поскольку содержит то содержит также и старший вектор Следовательно, ввиду неприводимости пространства V представления

Рассмотрим теперь произвольный вес и пусть весовой вектор веса Согласно сказанному выше мы можем положить

где каждый вектор содержится в конечномерном подпространстве, инвариантном относительно Следовательно, вектор также содержится в одном из таких подпространств. Повторяя те же рассуждения, что и в доказательстве утверждения 2°, получаем, что вес содержится в пространстве Утверждение 3° доказано.

Теперь уже нетрудно получить окончательный результат:

Теорема 3. Неприводимое представление со старшим весом конечномерно тогда и только тогда, когда все проекции являются целыми неотрицательными. Множество всех весов в этом случае инвариантно относительно группы Вейля, и для каждого веса число является целым, где а — корень.

Доказательство. Согласно теореме 2 всякий вес представления имеет вид где числа неотрицательные целые. Если числа вещественны, то это же верно для чисел следовательно, в этом случае все веса представления содержатся в вещественном пространстве (вещественной линейной оболочке всех корней). Покажем, что при этом

Действительно, согласно 3° множество всех весов инвариантно относительно группы Вейля. Поскольку преобразования группы Вейля ортогональны, то они не изменяют скалярного квадрата Согласно результатам § 105 мы можем подобрать преобразование

Вейля таким образом, чтобы полученный вектор был доминантным, т. е. числа были неотрицательны. Тогда при имеем

Следовательно, угол между векторами не может быть тупым. Но тогда скалярный квадрат вектора не может быть меньше скалярного квадрата вектора Наше утверждение доказано.

Пусть дискретная решетка всех векторов вида где числа неотрицательные целые. Мы видим, что множество всех весов представления содержится в пересечении решетки со сферой радиуса Следовательно, это множество конечно. Поскольку

где весовое подпространство с весом (теорема 2), то пространство V также конечномерно. Теорема доказана.

Поскольку каждое конечномерное представление алгебры содержит (в силу теоремы Ли) хотя бы один старший вектор, то теорема 3 дает нам полную классификацию всех неприводимых представлений алгебры

Замечание 1. Из доказательства пункта 2° нетрудно заключить, что подпространства где имеют одинаковую размерность. Следовательно, если конечномерно, то весовая диаграмма этого представления инвариантна относительно группы Вейля.

Замечание 2. Можно показать ([121]), что неприводимое конечномерное представление алгебры X может быть реализовано с помощью левых сдвигов в фактор-алгебре где — максимальный левый идеал, определяемый следующим образом: (ср. с замечанием 2

в § 120). Этот результат имеет очевидную аналогию с индикаторными системами, построенными в гл. XVI.

Замечание 3. Назовем представление алгебры X экстремальным, если в пространстве этого представления существует вектор такой, что

для некоторой фундаментальной системы корней (определение фундаментальной системы см. в § 105). Для экстремальных представлений, очевидно, имеет место аналог теоремы 2.

Конечномерное неприводимое представление экстремально относительно всякой фундаментальной системы корней (ввиду симметрии относительно группы Вейля). Более того, лишь конечномерные представления обладают этим свойством. Мы видим также, сколь «малую» часть занимают конечномерные представления в классе всех неприводимых (и даже в классе всех экстремальных) представлений алгебры