§ 54. Характеристика неприводимых тензоров в терминах симметрии

Вернемся теперь к рассмотрению тензоров для группы Роль симметрической группы в изучении тензоров обусловлена тем очевидным фактом, что преобразования этой группы перестановочны с действием

группы G. Отсюда следует, что свойства симметрии по отношению к группе 5 являются инвариантами по отношению к группе G и могут быть использованы для характеристики инвариантных подпространств. Нашей целью является показать, что этих свойств достаточно также для характеристики неприводимых подпространств.

Условимся записывать вместо вместо Здесь означает упорядоченную схему, которая заполнена в первом случае аргументами а во втором случае — индексами Для каждого положим

Нетрудно видеть, что эти определения эквивалентны, т. е. является тензором коэффициентов преобразованной формы При этом мы используем одно и то же обозначение для элемента и линейного оператора в Соответственно положим

для симметризатора Здесь уже является линейным оператором в Операторы называются эквивалентными симметризатору Операторы вводятся так же, как и в § 53.

Докажем теперь, что имеет место следующая основная

Теорема 1. Каждый симметризатор Юнга проектирует пространство на неприводимое подпространство со старшим вектором

где миноры расположены в порядке убывания индексов Если сигнатура имеет более ненулевых координат, то Подпространство

является максимальным подпространством в представление в котором кратно Нормировочный множитель и кратность с которой содержится в связаны следующим соотношением:

Доказательство. Фиксируем сигнатуру Назовем такую сигнатуру допустимой, если Каждой допустимой сигнатуре а поставим в соответствие старший вектор

где, как обычно, положено (если то числа заменяются нулями). Покажем, что вектор может быть записан в виде

где некоторая форма из пространства Для этого вычислим сначала тензорные коэффициенты формы

Напомним, что для всякой формы коэффициенты вычисляются по правилу Положим Рассмотрим сначала следующую схему:

где базисные орты размещены в соответствии со схемой Юнга (и где ). Подставляя эти аргументы в указанном порядке в форму находим, что

Если к схеме применить подстановку типа то она не изменится. Если к этой схеме применить подстановку

типа то одночлен умножается на В результате

Нетрудно видеть, что во всех остальных случаях Действительно, если подстановка не элементарна, то согласно лемме 2 схема X содержит в некотором столбце два одинаковых орта и соответствующий минор обращается в нуль. Тем более это верно, если ни при каком В этом случае количественное содержание ортов в схеме отлично от случая и непременно найдется хотя бы один столбец, содержащий два одинаковых орта.

С другой стороны, рассмотрим вспомогательную форму определяемую равенствами при во всех остальных случаях. Применим к этой форме симметризатор Юнга

Ясно, что полученная форма может быть отлична от нуля только при где некоторая подстановка на 5. При этом

Согласно определению формы в правой части может встретиться отличное от нуля слагаемое только в случае, когда Но это означает, что т. е.

(Действительно, только в этом случае схема остается инвариантной.) Наконец, в последнем случае отличны от нуля только те слагаемые, для которых Суммируя по группе получаем в результате

где - ненулевое число (порядок подгруппы В результате имеем Выбирая другую нормировку для формы получаем требуемое равенство:

Теперь уже нетрудно завершить доказательство теоремы. Поскольку то Полагая получаем, что вектор неподвижен относительно Далее, согласно пунктам 2) и 3) из леммы 3 мы имеем

Но это означает, что проектор проектирует все пространство на одномерное направление Следовательно, также оператор проектирует на одномерное направление Далее возможны следующие два варианта завершения доказательства.

1) Пусть центральный симметризатор Юнга, отвечающий сигнатуре а. Поскольку то мы имеем также Но это означает, что является единичным оператором на Если то мы имеем согласно лемме 4

Следовательно, является проектором на во всем пространстве Отсюда следует также, что является проектором на направление вектора во всем пространстве Действительно, при имеем

Наконец, согласно свойству полноты, даваемому леммой 5, все пространство является прямой суммой подпространств отвечающих всевозможным сигнатурам Если то тензор должен быть антисимметричен по набору индексов, большему откуда Следовательно, в этом случае Наконец, из перестановочности с операторами Те следует, что проектирует на циклическую оболочку вектора проектирует на циклическую оболочку

2) Вместо леммы 5 мы можем воспользоваться леммой 1, которая независимо дает условие полноты в классе старших векторов. При этом автоматически

учитывается, что следует рассматривать лишь допустимые сигнатуры. Все остальные рассуждения остаются неизменными.

Мы опустили пока соотношение между Заметим, что оператор имеет в пространстве единственное отличное от нуля однократное собственное значение (на векторе Следовательно, С другой стороны, поскольку единичный оператор на то В результате Теорема доказана.

Замечание 1. Циклическая оболочка вектора а относительно группы G может быть определена как совокупность всех тензоров для которых

где соответствующий проектор

Юнга. (Соответственно с Этим свойством характеризуется неприводимое подпространство в

Замечание. 2. Циклическая оболочка подпространства относительно группы G может быть охарактеризована как совокупность всех тензоров для которых

где -центральный проектор, отвечающий сигнатуре а. Этим свойством характеризуется максимальное подпространство представление в котором кратно

Пример. Положим и рассмотрим диаграмму Юнга

В этом случае подгруппы содержат, кроме единичного элемента, лишь по одной транспозиции:

Множество состоит из четырех элементов: из которых первый и третий четны, а второй и четвертый нечетны. Оператор имеет вид

Для вычисления напомним, что . В нашем случае (см. конец § 51). Следовательно, Применяя к произвольному тензору получаем тензор

Заметим, что при вычислении мы меняем местами «предметы» стоящие на местах с номерами Полученный тензор преобразуется по неприводимому представлению с сигнатурой

Мы оставили еще нерешенной задачу о явном вычислении кратностей . В гл. XII будет дана простая рекуррентная формула для вычисления этой кратности.