§ 25. Формулировка глобальной теоремы
Для компактной группы Ли удается в принципе решить все основные проблемы, связанные с теорией представлений. Окончательный результат мы сформулируем в виде перечня законов, называемого здесь «глобальной теоремой».
Теорема 1 (глобальная теорема). Если 
компактная группа Ли, то она обладает следующими свойствами:
1. G имеет точное линейное представление.
2. Все неприводимые представления группы G имеют конечную размерность и содержатся в классе тензоров (над тем линейным пространством, где G имеет точное представление).
3. Все конечномерные представления группы G эквивалентны унитарным и обладают свойством полной приводимости.
4. Число неприводимых представлений группы G (определяемых с точностью до эквивалентности) конечно или счетно, причем конечно только в случае, когда группа G конечна.
5. Всякая непрерывная функция 
на группе G может быть равномерно, с любой степенью точности, аппроксимирована линейными комбинациями матричных элементов
где индекс I означает нумерацию всевозможных неприводимых представлений, а индексы 
обычные матричные индексы относительно произвольного базиса.
6. Если матрица 
записана в базисе, относительно которого она унитарна, то система матричных элементов 
представляет собой полную ортогональную систему в гильбертовом пространстве 
Все элементы 
при фиксированном I имеют одинаковую норму, равную 
где 
размерность представления 
1. Если функция 
содержится в 
то ее ряд Фурье
где 
сходится к этой функции в среднем квадратичном.
Замечание. В действительности мы увидим (добавление I, § 2), что ряд Фурье сходится равномерно, если функция 
достаточное число раз дифференцируема (по параметрам группы 
и тем быстрее, чем выше степень гладкости функции 
Напомним, что символ 
использованный в формулировке теоремы, означает скалярное произведение двух произвольных функций из Н:
Ортогональность понимается также по отношению к этому скалярному произведению. В § 32 мы опишем также переход к произвольному однородному пространству с группой движений G.
Доказательство теоремы будет разбито на несколько частей.
