§ 112. Завершение классификации

Теперь мы можем доказать следующую основную теорему:

Теорема 4. Пусть односвязная полупростая комплексная группа Ли. Тогда вектор является сигнатурой в том и только в том случае, когда все числовые отметки являются целыми неотрицательными.

Доказательство. Необходимость условий уже доказана (§ 109). Докажем достаточность. По данному характеру определяем функцию с помощью

формулы

в некоторой окрестности единицы группы G (где справедливо разложение Гаусса). Далее определяем функцию двух переменных а Эта функция пока определена только на множестве вида где окрестность единицы в — окрестность единицы в G. Рассуждая, как при доказательстве теоремы 2, получаем, что

где -однопараметрическая подгруппа с направляющим вектором и параметры не зависят от Если — неотрицательное целое число, то заключаем отсюда, что функция удовлетворяет дифференциальному уравнению

Если все числовые отметки неотрицательны и целочисленны, то функция содержится в конечномерном пространстве где определяется как совокупность всех решений индикаторной системы. Следовательно, является полиномом и потому однозначно определяется на всей группе Z.

Далее, воспользуемся формулой 3° § 108, которая вытекает из определения функции и справедлива при значениях достаточно близких к единице. Эта формула позволяет определить операторы

для достаточно малых в линейной оболочке функций Действительно, ввиду конечномерности существует конечное число функций образующих базис в и оператор определяется для всех элементов таких, что все произведения достаточно близки к единице:

Следовательно, в определено представление локальной группы Ли, соответствующей группе G. Ввиду односвязности G это представление однозначно продолжается на всю группу G. Следовательно, вектор I действительно является сигнатурой. Теорема доказана.

Теорема 4 доставляет замечательные следствия не только для описания неприводимых представлений более широкого класса групп Ли, но также и для изучения структуры самой группы G.

Следствие 1. Пусть односвязная полу простая комплексная группа Ли. Тогда для каждого корня в группе G существует односвязная подгруппа Ли с алгеброй Ли

Действительно, если корень простой, то группа построенная в § 110, должна быть изоморфна (в противном случае проекция оказалась бы четной). Поскольку всякий корень может быть сделан простым относительно некоторого упорядочения (§ 105), то наше утверждение верно для любого .

Следствие 2. Пусть односвязная полупростая комплексная группа Ли. Тогда ее картановская подгруппа разлагается в прямое произведение

однопараметрических замкнутых подгрупп где Полагая получаем однозначную параметризацию группы

Действительно группа является подгруппой Картана в и потому ее параметр должен нормироваться условием Разложение вытекает из связности и перестановочности подгрупп очевидно также, что при Это следствие может быть также записано следующим образом:

Следствие 3. В группе существуют мультипликативные координаты Всякий комплексно-аналитический характер группы записывается в этих координатах следующим образом: где целые числа.

Перейдем теперь к рассмотрению редуктивных групп Ли. Если односвязная комплексная редуктивная группа Ли, то, очевидно, G разлагается в прямое произведение где полупростая связная подгруппа и -связная компонента единицы в центре группы G. Поскольку С является комплексной оболочкой тора, то в С существуют некоторые мультипликативные координаты Отсюда получаем

Следствие 4. Если односвязная комплексная редуктивная группа Ли, то всякий ее старший вес имеет вид где числа являются целыми неотрицательными при и произвольными целыми при

Переход к неодносвязной группе осуществляется, как обычно, путем факторизации по центральному нормальному делителю. Поскольку этот делитель содержится в то представление оказывается однозначным на тогда и только тогда, когда характер обращается в единицу на Особенно просто решается этот вопрос в случае полупростой комплексной группы (см. § 118).

Следствие 5. Если полупростая комплексная односвязная группа Ли, то полугруппа ее неприводимых представлений имеет ровно образующих ранг группы Всякое представление однозначно записывается в виде

где — числовые отметки сигнатуры (под умножением имеется в виду произведение Юнга). Если G редуктивна, то к образующим добавляются еще образующих (в обозначениях следствия 4).

Далее, рассмотрим вещественные неприводимые представления группы G. Очевидно, всякий

вещественный характер группы G может быть записан в виде

где комплексные числа, для которых, однако, разности должны быть целыми. Как и прежде, условимся считать, что параметры относятся к полупростой компоненте (остальные — к центру группы

Следствие 6. Вещественный характер индуктивен тогда и только тогда, когда индуктивны отдельно его аналитический и антианалитический сомножители, т. е. когда целые числа, неотрицательные при Представление является тензорным произведением аналитического и антианалитического неприводимых представлений.

Подчеркнем, что в этом следствии речь идет об односвязной группе G. В общем случае следствие 6 в основном сохраняет силу, но аналитический и антианалитический сомножители могут быть неоднозначны (даже если однозначно, см. § 43). Наконец, уточним описание канонической модели.

Теорема 5. Пусть односвязная комплексная редуктивная группа Ли и а — ее старший вес. Тогда пространство в котором действует неприводимое представление состоит из всех решений индикаторной системы

Здесь неотрицательные целые числа такие же, как в следствии 6. Пространство состоит из полиномов на группе Z. Тот же результат имеет место, если группа G неодносвязна (но представление может быть конечнозначным).

Доказательство ничем не отличается от частного случая рассмотренного в § 65 (стр. 291).