ГЛАВА VIII. ТЕНЗОРЫ И ДИАГРАММЫ ЮНГА

Изучение тензоров является классической задачей теории представлений. Речь идет о спектральном анализе, т. е. о разложении тензоров на неприводимые компоненты. Исторически решение этой задачи впервые позволило Вейлю [10] дать явную модель неприводимых представлений группы и других классических групп. Мы приступим к решению этой задачи, уже имея информацию о запасе неприводимых представлений. Для простоты мы будем рассматривать только контравариантные тензоры для группы

В конце главы по аналогии с тензорами изложим также две другие конструкции неприводимых представлений группы G.

§ 51. Описание Z-инвариантов

Вместо тензоров нам будет удобно рассматривать соответствующие полилинейные формы система независимых ковариантных векторов-строк. Согласно общим замечаниям, сделанным в конце § 14, мы можем вместо тензорного закона преобразований рассматривать операторы

определенные в классе полилинейных форм. Пусть означает полную алгебру (контравариантных) тензоров и конечномерное подпространство тензоров ранга Мы отождествляем тензоры с соответствующими формами. Таким образом, операторы образуют представление группы G в пространстве Очевидно, это

представление имеет вид

(m сомножителей), т. е. совпадает с тензорной степенью неприводимого представления Поскольку представление аналитичио, оно вполне приводимо. Следовательно, мы можем поставить задачу о разложении на неприводимые представления.

Следуя методу Z-инвариантов, мы решаем вначале систему уравнений где 2 пробегает группу Z всех верхних треугольных матриц с единицами на главной диагонали. Отметим вначале следующее легко проверяемое утверждение

1° Миноры

являются Z-инвариантами.

Далее, если и являются Z-инвариантами, то это верно также для Иначе говоря, имеет место

2° Множество всех Z-инвариантов является подалгеброй в алгебре

Заметим, что умножение в алгебре некоммутативно. Действительно, в терминах полилинейных форм умножение двух тензоров задается равенством и произведение, взятое в другом порядке, отличается перестановкой аргументов. Для наших целей существенно также следующее замечание:

3° Алгебра инвариантна относительно всевозможных подстановок где подстановка

Комбинируя 1° — 3°, мы получаем в алгебре следующий запас одночленов:

где символ а отождествляется с набором неотрицательных чисел и символ означает произвольную подстановку.

В теории инвариантов доказывается ([10]), что одночлены вида образуют линейный базис в пространстве Это утверждение сразу решает вопрос о полном запасе Z-инвариантов. В действительности это утверждение мы не будем использовать (и даже получим его независимое доказательство из общих результатов спектрального анализа). Тем не менее для более удобного обзора ситуации мы можем вначале иметь в виду этот общий результат, который сформулируем в виде следующей леммы:

Лемма 1. Миноры являются образующими в алгебре

Выясним действие диагональной группы на миноры Если то положим Очевидно, иод действием оператора Следовательно, всякий одночлен со является весовым с весом

Здесь числа неотрицательные целые и числа связаны с ними обычными соотношениями гл. VII: Очевидно, числа совпадают с показателями одночлена со Заметим, что при этом

где - ранг тензора Как и в гл. VII, мы полагаем Для краткости введем обозначение для суммы Из леммы 1 непосредственно находим

Следствие 1. Всякий старший вектор сигнатуры содержится в линейной оболочке одночленов с фиксированным а.

Указанную линейную оболочку обозначим символом Тогда Кроме того, означает множество всех -инвариантов ранга

Соответственно где циклическая оболочка относительно группы G.

Следствие 2. Кратность вхождения неприводимого представления совпадает с числом линейно независимых одночленов среди

Результат нашего исследования может быть записан в виде где кратность вхождения а также и во всю алгебру

Пример Представление неприводимо.

Пример Действительно, при имеются только старшие векторы

и векторы, получаемые из них перестановками аргументов х, у. Поскольку эти перестановки сохраняют и меняют знак то мы получаем коллинеарные векторы. Следовательно,

являются единственно возможными сигнатурами и каждая из них встречается однократно.

Пример Действительно, в данном случае имеются три вектора:

а также векторы, получаемые из них путем всевозможных подстановок аргументов Эти подстановки не меняют со, сохраняют с точностью до знака и переводят форму с точностью до знака в три формы для которых (циклическая подстановка . В то же время нетрудно видеть, что формы линейно независимы; отсюда ясно, что встречается двукратно.

В общем случае легко проверить, что имеют место следующие закономерности:

1. Представление встречается в однократно (симметричные тензоры ранга

2. Представление встречается в однократно (поливекторы ранга

Остальные представления требуют значительно более глубокого изучения. В игру вступает симметрическая группа всех подстановок аргументов (На языке тензорных индексов это означает подстановку К рассмотрению группы действующей в пространстве мы сейчас и переходим.