§ 8. Классификация неприводимых представлений
Вопросы классификации бесконечномерных неприводимых представлений группы G существенно зависят от аксиоматики в классе таких представлений. Действительно, даже если вместо группы G рассматривать аддитивную группу 
вещественных чисел, то проблема классификации ее топологически неприводимых представлений равносильна до сих пор нерешенной проблеме классификации линейных непрерывных операторов (с точностью до эквивалентности) в топологическом векторном пространстве. Положение значительно упрощается, если вместо топологически неприводимых представлений группы 
рассматривать ее вполне неприводимые представления (см. § 4). В этом случае ввиду выполнения теоремы Бернсайда можно утверждать ([88]), что вполне неприводимое представление группы 
одномерно. Следовательно, оно имеет вид экспоненты 
Однако при переходе от группы 
к группе G возникает еще одна трудность. Действительно, как мы видели выше, операторы представления 
могут быть определены как в гильбертовом пространстве 
так и в монтелевском пространстве 
При этом 
всюду плотно в и представление 
в обоих пространствах вполне неприводимо. Естественно считать такие представления в некотором роде одинаковыми, т. е. использовать соответствующее определение эквивалентности. Такое определение было предложено 
Наймарком [117]. Мы приведем несколько видоизмененный вариант такого определения.
Пусть 
представление группы G в топологическом векторном пространстве 
и пусть 
инвариантное векторное подпространство в 
Скажем, что представление 
является уплотнением представления 
если в 
существует более сильная топология, по отношению к которой 
полно и операторы 
непрерывны. Скажем, что два представления группы G слабо эквивалентны, если они имеют эквивалентные уплотнения.
Теперь мы можем сформулировать один из вариантов постановки задачи о классификации неприводимых представлений группы G. Требуется классифицировать все вполне неприводимые представления этой группы с точностью до слабой эквивалентности.
Окончательное решение этой задачи было получено в недавней работе 
Наймарка и автора [91] (см. также [90]). Оказалось, что всякое вполне неприводимое представление группы G слабо эквивалентно одному из ее минимальных представлений 
