§ 111. Полиномы на группе Z

Как мы знаем, все комплексно-аналитические неприводимые представления надкомпактной группы конечномерны. Этот критерий можно было бы взять за

основу при описании множества всех сигнатур. Очевидно, характер индуктивен тогда и только тогда, когда соответствующая функция первоначально определенная на множестве может быть продолжена до функции, аналитической (и однозначной) на группе G. Однако непосредственное изучение такого продолжения представляется затруднительным, и мы предпочтем окольный путь.

В основу будет положено рассмотрение индикаторных систем на группе Z. При этом мы одновременно будем рассматривать не только комплексно-аналитические, но также и вещественно-аналитические (т. е. все конечномерные вещественные) неприводимые представления группы G.

Пусть аналитический и антианалитический инфинитезимальные операторы левого сдвига на группе Z, отвечающие вектору где простой корень. Систему уравнений вида

мы будем называть индикаторной системой на группе Z. В частном случае мы получаем равенство нулю не только операторов но и всех их коммутаторов, т. е. всех антианалитических операторов левого сдвига на Z. Отсюда, очевидно, следует, что функция является комплексно-аналитической целой функцией от канонических параметров в группе Z. Оставшаяся система уравнений

совпадает с индикаторной системой в классе аналитических функций, введенной в предыдущем параграфе. Удвоенную систему параметров неотрицательные целые числа) мы по-прежнему будем называть сигнатурой.

В основе всех дальнейших построений лежит следующая теорема:

Теорема 3. Пространство решений любой индикаторной системы конечномерно и состоит из полиномов на группе Z.

Доказательство. Докажем вначале самостоятельное утверждение, которое является обобщением леммы 2 из § 65. Пусть нильпотентная алгебра Ли, производная подалгебра и система элементов, дополняющих базис в до базиса в алгебре Нетрудно видеть, что являются образующими в алгебре их коммутаторы порождают Элементы назовем каноническими образующими в

Основная лемма. Пусть нильпотентная алгебра Ли с каноническими образующими Пусть представление алгебры в пространстве V (возможно, бесконечномерном) и - подпространство на котором

где неотрицательные целые числа. Тогда операторы нульстепенны в с показателем нульстепенности, равномерно ограниченным по

Доказательство леммы. Пусть размерность алгебры. Доказательство будем вести индукцией по Фиксируем одну из образующих, скажем и пусть — линейная оболочка элементов и коммутаторов всех элементов ее, тогда, очевидно,

где является идеалом в размерности Среди элементов вида

содержится система образующих подалгебры а означает, как обычно, оператор Соответственно среди операторов содержится система образующих алгебры Далее, пусть при фиксированном Вместо элементов нам будет удобно рассматривать их линейные комбинации

Оператор определен как конечный степенной ряд на подпространстве Действительно, рассуждая так же, как при доказательстве леммы 2 в § 65, получаем, что оператор А нульстепенен не только на но также на Аналогично, рассматривая получаем оператор

определенный всюду на Если достаточно велико, то на (ввиду нульстепенности В на Следовательно, оператор является нульстепенным с показателем нульстепенности, равномерно ограниченным по Среди операторов содержится, очевидно, система образующих алгебры Поскольку мы получаем в результате, что операторы нульстепенны на для всякого

Наконец, используя формулу Кемпбелла — Хаусдорфа, мы можем представить всякий элемент в виде причем если то у выражается с помощью кратных коммутаторов от следовательно, у является полиномом от Соответственно имеем

Оператор является полиномом от на следовательно, является полиномом от Далее,

используя обычные рассуждения (§ 65), получаем, что является нульстеиенным не только на но также на Следовательно, является конечным рядом на Заменяя х на получаем, что является полиномом от Следовательно, нульстепенен на Очевидно также, что показатель нульстепенности равномерно ограничен на Лемма доказана.

Напомним теперь, что в алгебре существует цепочка вложенных идеалов где (см. § 85). Отсюда легко заключить, что односвязная группа Z с алгеброй Ли допускает однозначное разложение в произведение односвязных однопараметрических подгрупп причем является нормальным делителем в Полагая

где мы можем рассматривать как параметры в группе Z. Нетрудно видеть (из формулы Кемпбелла — Хаусдорфа), что эти параметры связаны с каноническими параметрами в группе Z рекуррентно и полиномиально. Введенные параметры мы будем называть нормальными параметрами в группе Z. Используя нормальные параметры, из основной леммы получаем

Следствие. Пусть - инфинитезимальный оператор левого сдвига на группе Z, и пусть пространство всех решений системы дифференциальных уравнений

в классе (обычных или обобщеных) функций на группе Z. Тогда для любого набора неотрицательных целых чисел пространство конечномерно и состоит из полиномов на группе Z.

Действительно, согласно основной лемме всякая функция

где - произвольная однопараметрическая подгруппа, является полиномом от переменной с равномерно ограниченной степенью (по ). В частности, положим

где фиксированные элементы и нормальный параметр в группе Z с номером тогда мы получаем, что функция является полиномом от параметра Следствие доказано.

Остается применить полученное следствие к корневой подгруппе Поскольку эта группа должна рассматриваться как вещественная, то мы рассматриваем «удвоенную» систему образующих Теорема доказана.

В заключение заметим, что все построения предыдущих двух параграфов повторяются почти дословно для вещественного характера группы . В частности, мы видим, что пространство всех решений индикаторной системы инвариантно относительно Из конечномерности и неприводимости мы сможем в дальнейшем заключить (§ 112), что т. е. пространство представления совпадает с пространством всех решений индикаторной системы.