Главная > Компактные группы Ли и их представления
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 57. Гармонический осциллятор

В заключение этой главы изложим еще одну замечательную алгебраическую конструкцию, которая первоначально возникла в теоретической физике. Вместо группы G мы будем рассматривать ее алгебру Ли

Пусть образующие в некоторой абстрактной алгебре с соотношениями коммутации

где символ Кронекера. Предполагается также, что алгебра содержит единицу. Коммутативные подалгебры, порожденные элементами обозначим соответственно

Элементы называют в теоретической физике операторами Бозе. Операторы называются операторами рождения, операторы а операторами уничтожения. Квадратичный элемент

называется оператором числа частиц. Подобная система операторов описывает квантовомеханическую модель» называемую -мерным гармоническим осциллятором. Положим теперь

Нетрудно проверить, что операторы удовлетворяют стандартным соотношениям коммутации алгебры Таким образом, алгебра X может быть вложена в

Далее, пусть бесконечномерное векторное пространство, в котором действует циклическое представление алгебры При этом предполагается, что роль циклического вектора играет вектор для которого

Иначе говоря, вектор аннулируется всеми операторами уничтожения. В физике вектор называется

вектором вакуума (состоянием вакуума). Условие цикличности записывается следующим образом:

Нетрудно видеть, что Иначе говоря, при помощи соотношений коммутации можно каждый элемент разложить по одночленам, у которых все множители а,- сгруппированы слева и множители сгруппированы справа. Но тогда очевидно, что

Следовательно, является циклической оболочкой вектора по отношению к полиномам содержащим только операторы рождения. При этом существенно, что алгебра является коммутативной.

Как следует из последнего замечания, представления указанного типа действительно существуют. В самом деле, мы можем заранее положить предполагая, что между векторами

не существует никаких линейных зависимостей. Иначе говоря, пространство отождествляется с алгеброй всех полиномов от коммутативных символов Действие операторов определяется очевидным образом. В дальнейшем мы будем иметь в виду именно указанные представления. Поскольку то получаем также представление алгебры

Займемся разложением этого представления на неприводимые. Прежде всего, заметим, что каждый вектор к является весовым:

Несложная проверка предоставляется читателю. Далее, покажем, что вектор может быть старшим только при условии Действительно, если содержит хотя бы один сомножитель то он не аннулируется оператором С другой стороны,

если положим

то вектор сот аннулируется всяким повышающим оператором Далее, пусть подпространство всех векторов для которых Нетрудно видеть, что инвариантно относительно алгебры X. Поскольку конечномерно,то оно вполне приводимо. Поскольку содержит лишь единственный (с точностью до множителя) старший вектор (от, то оно неприводимо.

Таким образом, мы получаем, что в пространстве В содержатся, причем однократно, все неприводимые представления алгебры X с сигнатурами Этим завершается спектральный анализ пространства Заметим также, что оператор

сводится в подпространстве к умножению на Оператор К интерпретируется также как «массовый оператор» или «оператор массы — энергии».

Если сопоставить этот результат с рассмотрениями предыдущего параграфа, то не должно показаться удивительным, что мы получили в спектре только представления вида Действительно, реализация в пространстве равносильна реализации в классе полиномов от одной числовой строки Если мы желаем получить все остальные сигнатуры, то придется рассматривать по крайней мере строк (впрочем, для получения сигнатур вида достаточно рассматривать строк).

Исходя из последнего замечания, мы приходим к следующему обобщению нашей конструкции. Будем считать, что алгебра содержит образующих с соотношениями коммутации

Алгебра X состоит в этом случае из операторов При этом, как и прежде, где порождаются соответственно только элементами Массовый оператор определяется формулой

Повторяя почти дословно предыдущие построения, получаем бесконечномерное представление алгебры в пространстве с циклическим вектором для которого Спектральный анализ этого представления уже не производится столь элементарно, однако достаточно воспользоваться результатом теоремы 3.

В результате получаем новую реализацию всех неприводимых представлений целые числа). Хотя такая реализация вполне аналогична реализации предыдущего параграфа, она в отдельных случаях может оказаться более удобной для символической записи действия инфинитезимальных операторов . К этому вопросу мы еще вернемся в гл. X.

Изложенная нами символическая конструкция допускает также весьма простую функциональную реализацию. Для этого достаточно положить

где независимые вспомогательные переменные. Определяя вектор вакуума по формуле

мы отождествляем пространство с пространством всех функций вида где произвольный полином от При этом массовый оператор К

отождествляется с оператором Гамильтона

для системы из -мерных гармонических осцилляторов.

В заключение отметим, что массовый оператор перестановочен со всеми операторами и потому согласно лемме Шура кратен единице в подпространстве каждого неприводимого представления. Однако в общем случае этот оператор уже «не разделяет точек спектра», т. е. принимает одно и то же числовое значение на подпространствах с разными сигнатурами. Действительно, можно показать, что этот оператор сводится к умножению на во всем пространстве однородных полиномов степени Фундаментальным вопросом о разделении точек спектра мы займемся в следующей главе.

Диаграммы Юнга первоначально возникли в связи с непосредственным изучением группы S ([148]). Г. Вей ем [10] показана роль симметризаторов Юнга изучении тензоров для При этом существенно используется «принцип взаимности» между при помощи которого получаются основные результаты (включая свойство полной приводимости для тензорных преобразований Наше изложение отличается явным использованием старших векторов, что позволяет получить достаточно ясную картину разложения без помощи группы (§ 51); однако, лишь привлечение группы позволяет построить проекторы на неприводимые подпространства. Использование метода Z-инвариантов и доказательство теоремы 3 излагаются согласно [84]. Алгебраическая схема с операторами Бозе была предложена в работах В. Баргмана и М. Мошинекого [149], Мощи некого [155]. См. также [154].

1
Оглавление
email@scask.ru