§ 7. Минимальные представления

Элементарные представления группы О с невырожденными сигнатурами а являются важнейшим примером неприводимых бесконечномерных (не обязательно унитарных) представлений группы G. Другие примеры таких представлений мы можем получить, исследуя структуру инвариантных подпространств для представлений в вырожденных точках.

Фиксируем какой-либо ненулевой вектор где минимальный из старших весов компактной формы Вейля в линеала (§ 2). Назовем вектор минимальным вектором класса Пусть циклическая оболочка вектора относительно (здесь а — произвольная сигнатура с индексом Если сигнатура а невырождена, то В общем случае представляет интерес исследование циклической оболочки

Заметим вначале, что если то циклические оболочки связаны соотношением вида где -некоторый «оператор симметрии», порожденный операторами из § 6 (см. по этому поводу [87]). Оказывается, что на орбите всегда можно найти две точки со следующими свойствами: 1) неприводимо. Представление в пространстве назовем минимальным представлением алгебры X с сигнатурой

Пусть -замыкание в топологии пространства Тогда инвариантно относительно Положим Сужение на обозначим и назовем минимальным представлением группы G с сигнатурой а. Если то положим, по определению,

Заметим, что если векторы являются старшими весами группы то минимальное представление совпадает с конечномерным представлением рассмотренным в § 3. В этом случае, как мы видели в § 3, пространство представления выделяется из некоторой системой уравнений, содержащих инфинитезимальные операторы левого сдвига на группе

В общем случае до сих пор неизвестно достаточно эффективное описание пространств минимальных представлений Известно только, что является образом где индекс

относительно оператора симметрии Весьма вероятно, что подобно V, также выделяется из с помощью инфинитезимальных операторов левого сдвига. (Эта гипотеза проверена автором в случае