§ 100. Разложение Гаусса

При изучении структуры полупростой комплексной алгебры Ли была обнаружена замечательная симметрия, позволяющая выделить в этой алгебре, наряду с картановской подалгеброй, также аналог «понижающих» и «повышающих» операторов, т. е. нильпотентные подалгебры с определенными соотношениями коммутации. Выясним, как отражается эта информация на структуре соответствующей группы Ли.

Вместо полупростой комплексной алгебры Ли мы можем сразу рассматривать алгебру редуктивную, т. е. произвольную комплексную оболочку компактной алгебры Ли. Пусть X — редуктивная комплексная алгебра, полупростая компонента и 3 — центр. Выделяя в

X картановскую алгебру и подалгебры мы находим также, что

(прямая сумма), где прямая сумма и центра . Подалгебру мы будем называть картановской подалгеброй в алгебре X, подалгебры корневыми подалгебрами в Разложение назовем разложением Картана — Вейля. Поставим целью выяснить вопрос об «интегрировании» этого разложения.

Докажем, что имеет место

Теорема 6. Пусть редуктивная связная комплексная группа Ли. Тогда, исключая подмногообразие меньшей размерности, мы получаем множество всюду плотное в для которого выполняется следующее однозначное разложение:

Здесь максимальная абелева подгруппа в G с алгеброй Ли максимальные нильпотентные односвязные подгруппы с алгебрами Ли Если группа G является алгебраической связной группой, то также алгебраичны и группа является связной.

Доказательство. Достаточно провести доказательство в том случае, когда группа G односвязна. (Действительно, поскольку максимальная абелева подгруппа, то содержит центр группы G. Следовательно, разложение в общем случае может быть получено факторизацией по центральному дискретному делителю.) Далее, пусть — односвязные группы Ли с алгебрами Ли Если G односвязна, то она изоморфна (ввиду односвязности последней и однозначности универсальной покрывающей). Отсюда заключаем, что разложение достаточно поверить в том случае, когда группа G полупроста.

Итак, пусть алгебра X полупроста. Мы рассмотрим вначале тот случай, когда группа G является связной

компонентой единицы в группе всех автоморфизмов алгебры При этом существенно будет использована алгебраичность группы G.

Лемма. Пусть алгебраическая связная подгруппа в и группы определяются как пересечения этой группы с соответственно, где -компоненты разложения Гаусса в Пусть множество всех элементов из допускающих разложение Гаусса в Предположим., что имеют общую окрестность единичного элемента в Тогда и подгруппы односвязны.

Доказательство леммы. Предположим, что т. е. допускает разложение Гаусса в объемлющей группе

Покажем, что Пусть один из полиномов определяющей системы группы необходимо проверить, что Согласно общим формулам разложения Гаусса (§ 9) элементы матрицы рационально зависят от элементов матрицы т. е. функция есть рациональная функция в линейном пространстве определенная для всех «регулярных» точек из (допускающих разложение Гаусса). По условию леммы в некоторой окрестности на многообразии Но тогда на ввиду связности Следовательно, Аналогично доказывается, что Но тогда и В результате

Следовательно, Заметим теперь, что где матрица х нульстепенна (действительно, треугольная матрица с единицами на главной диагонали). Отсюда следует, что однозначно записывается в виде где матрица а также нульстепенна. Заметим также, что группа алгебраична (как пересечение алгебраических групп Если один из определяющих полиномов группы Z, то мы имеем

Следовательно, при любом комплексном Экспоненциальное отображение устанавливает взаимно однозначное соответствие между группой Z и ее алгеброй Ли. Следовательно, группа Z односвязна. Следовательно, обе группы являются односвязными. Лемма доказана.

Если группа в условиях леммы несвязна, то результат остается прежним, с той разницей, что множество всюду плотно в связной компоненте единицы В частности, применим это замечание к алгебраической группе всех автоморфизмов алгебры Согласно и общему критерию, указанному на стр. 174, разложение Гаусса имеет место в окрестности единицы группы Следовательно, теорема 6 имеет место для связной компоненты единицы

Рассмотрим теперь общий случай, когда группа G является связной полупростой; тогда разложение доказано для присоединенного представления группы G. Следовательно, выполняется также и для самой группы где определяются как полные прообразы соответствующих подгрупп в Поскольку ядром представления является дискретный центр группы то группы являются накрывающими для Но, как мы видели выше, группы односвязны; следовательно, они изоморфны и центр группы G содержится в подгруппе

Наконец, рассмотрим тот случай, когда группа G алгебраична. Как увидим в дальнейшем (§ 104), всякая комплексная редуктивная связная группа Ли является надкомпактной. Отсюда, в частности, следует, что преобразования картановской подалгебры диагонализуются в некотором базисе. Собственные значения алгебры суть линейные формы над Я. Вводя для этих форм такое же лексикографическое упорядочение, как и для корней над , мы можем заключить, что существует базис, в котором преобразования из

являются нижними (верхними) треугольными. Подгруппы могут быть в этом случае непосредственно определены как пересечения группы соответственно. Следовательно, они являются алгебраическими.

Пусть такие полиномы на группе что при Полагая замечаем, что является рациональной функцией на группе G. Подставляя вместо в полином получаем рациональную функцию, тождественно равную нулю на группе G. Умножая эту функцию на некоторые степени диагональных миноров (см. § 9), получаем также равенство вида где полиномы на всей группе G. Отсюда следует (см. замечание в конце § 99), что либо либо т. е. либо либо на группе Отсюда в свою очередь следует, что группа является связной.

Теорема доказана.

Разложение мы будем называть разложением Гаусса в группе индивидуальное разложение разложением Гаусса элемента Заметим, что элементы являются аналитическими функциями от следовательно, соответствие между и тройкой является аналитическим гомеоморфизмом. Тройку мы можем рассматривать как систему параметров в множестве

Разложение Гаусса может быть обобщено следующим образом. Пусть произвольная подсистема простых корней алгебры линейная оболочка картановской подалгебры и всех корневых векторов где со представимо в виде линейной комбинации корней из Тогда, как нетрудно видеть, является редуктивной алгеброй, и алгебра X может быть записана в виде прямой (ортогональной) суммы:

где ортогональные дополнения в до корневых подалгебр алгебры натянуты на те

корневые векторы где непредставимо в виде линейной комбинации корней из Нетрудно видеть, что и являются идеалами в Алгебру мы будем называть центральной редуктивной компонентой или треугольным усечением алгебры . В частности, если то если

Пусть — линейная оболочка корней алгебры линейная оболочка корней подалгебры Положим и введем в пространство «относительное упорядочение т. е. будем считать, что относительно меньше если ортогональная проекция на меньше ортогональной проекции (относительно лексикографической упорядоченности во всем пространстве ). Заменяя в доказательстве теоремы 6 обычную упорядоченность относительной и рассматривая вместо упорядоченных матриц соответствующие блок-матрицы, получаем следующее разложение:

Здесь односвязные нильпотентные подгруппы в группе G с алгебрами Ли множество всех регулярных элементов из замкнутой подгруппы с алгеброй Ли (существование этой подгруппы получается в процессе доказательства, равно как и существование диагональной подгруппы При этом оказываются инвариантными подгруппами относительно Разложение мы условимся называть обобщенным разложением Гаусса. Группу мы будем называть центральной компонентой или треугольным усечением группы G. В частности, если то если то

Группу из теоремы 6 мы будем называть картановской подгруппой в группе эта группа может быть охарактеризована как максимальная абелева подгруппа в G с алгеброй Ли

Пример. Рассмотрим в -мерном пространстве произвольную блочную запись матриц Пусть совокупность всех нижних треугольных блок-матриц с единичными блоками, совокупность всех невырожденных блочно-диагональных матриц и совокупность

всех верхних треугольных блок-матриц с единичными диагональными блоками. Тогда имеет место для группы и группа является треугольным усечением в

Замечание. Если присоединенная группа полупростой комплексной алгебры X, то подгруппа может быть охарактеризована как совокупность всех преобразований из оставляющих неподвижным ортогональное дополнение в картановской алгебре линейной оболочки системы (Соответственно алгебра есть централизатор

Упражнение

(см. скан)