§ 131. Тензорное произведение двух неприводимых представлений

Эта задача уже была рассмотрена нами для группы Ее обобщение на произвольную комплексную полупростую (или редуктивную) группу Ли рассматривается почти буквально так же.

Рассмотрим группу составляемую из всех матриц вида

Всякое неприводимое представление этой группы задается сдвоенной сигнатурой где сигнатуры группы G. Реализуем группу G как «диагональ» в состоящую из матриц

Тогда сужение совпадает с тензорным произведением

Реализуя данное представление в классе функций на мы используем следующее очевидное разложение:

для введения параметров в эту группу. Здесь произвольные матрицы из единица в группе Z. Искомые Z-инварианты зависят только от Заметим, что умножение слева на матрицу с компонентами приводит к преобразованию

в классе параметров Отсюда следует, что искомая индикаторная система в классе функций имеет вид объединения двух индикаторных систем где — индикаторная система пространства получается из индикаторной системы заменой на

Сформулируем полученный результат более подробно. Пусть пространство всех Z-инвариантов, имеющих вид т. е. зависящих только от Тогда мы имеем:

Здесь шляпка означает замену каждой функции на Условие 2) удобнее сформулировать следующим образом. Выпишем индикаторную систему

Замена 2 на равносильна тому, что операторы левого сдвига заменяются (с точностью до знака) операторами правого сдвига, которые обозначим

Но операторы правого сдвига являются инфинитезимальными операторами самого представления В результате получаем, что имеет место

Теорема 5. Пусть полупростая связная комплексная группа Ли и два ее неприводимых представления. Пусть — весовое подпространство в с весом и подпространство в V состоящее из всех решений системы уравнений

где инфинитезимальный оператор отвечающий корневому вектору с простым корнем параметры сигнатуры Тогда имеет место тождество

для кратности с которой неприводимое представление содержится в тензорном произведении

Доказательство. Вектор 3 как элемент пространства имеет вес определяемый из уравнения

Тот же вектор как элемент пространства имеет вес у, определяемый из уравнения

Переходя к аддитивной записи, получаем, что Теорема доказана.

Следствие. где кратность веса в представлении

Если классическая группа, то при помощи теоремы 5 нетрудно, как и в случае рассмотренном выше, получить простой алгоритм для вычисления спектральной формулы. При этом, как и в случае удобно использовать для характера аналог второй формулы Вейля [10].