§ 110. Нормально вложенные подгруппы

Прежде чем приступить к окончательному описанию всех возможных сигнатур, остановимся несколько подробнее на некоторых свойствах канонической модели.

Пусть треугольное усечение группы т. е. редуктивная подгруппа, алгебра Ли которой порождается некоторым набором простых корней из алгебры Ли группы G (см. § 100). Как мы видели в § 100, множество может быть в этом случае записано в виде

где односвязные нильпотентные подгруппы, инвариантные по отношению к . В этом случае мы будем также говорить, что группа нормально вложена в группу G. Соответствующее разложение мы назвали в § 100 обобщенным разложением Гаусса.

Теорема 2. Неприводимое представление группы G может быть реализовано в классе вектор-функций на подгруппе следующей формулой:

Здесь оператор неприводимого представления группы со старшим весом а, элементы определяются из обобщенного разложения Гаусса Функции являются полиномами на группе и принимают значения в пространстве представления

Доказательство. Положим где корневая подгруппа в группе ее пересечение с группой Поскольку всякий элемент из Z

допускает обобщенное разложение Гаусса, то мы имеем

и группы пересекаются только в единичной точке. Условимся писать т. е. будем рассматривать элементы как параметры во всей группе Z. Пусть элементы определяются, как в условиях теоремы. Тогда мы имеем

где (действительно, группа инварианта относительно В результате мы видим, что является центральной компонентой в разложении Гаусса элемента Следовательно, и мы имеем

Если рассматривать как вектор-функцию от то мы получаем формулу, указанную в условиях теоремы. Теорема доказана.

Иногда говорят ввиду теоремы 2, что представление индуцируется представлением подгруппы

Теорема 2 дает нам удобное правило индукции при изучении канонической модели. Нам достаточно сейчас рассмотреть тот случай, когда группа имеет в качестве своей алгебры Ли подалгебру

где — произвольный простой корень алгебры В этом случае нормально вложена в G и подгруппа совпадает с однопараметрической подгруппой Группа является редуктивной связной группой с полупростой компонентой где , имеет трехчленную алгебру Ли и потому изоморфна либо где С — центр в состоящий из матриц Применяя теорему 2, получаем

где аддитивный параметр в одномерное представление редуктивной группы и коэффициенты зависят от параметров но не зависят от параметра При этом нетрудно проверить, что числовая отметка сигнатуры на простом корне со. Из полученной формулы вытекает следующие важные следствия:

Следствие 1. Положим где — простой корень и пробегает подгруппу в группе Z, порожденную касательными векторами Тогда все функции являются полиномами от степени не выше .

Следствие 2. Пространство всех функций на группе Z, которые являются полиномами от параметра степени не выше инвариантно относительно операторов представления

Следствие 3. Пусть аналитический инфинитезимальный оператор левого сдвига на группе Z, отвечающий корневому вектору где — простой корень, Пусть — пространство всех решений системы дифференциальных уравнений

в классе всех комплексно-аналитических функций на группе Z. Здесь положено Тогда инвариантно относительно операторов представления

Действительно,

Систему мы будем называть индикаторной системой на группе Z с сигнатурой