Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
ГЛАВА IV. КОМПАКТНЫЕ ГРУППЫ ЛИ. ГЛОБАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА
В настоящей главе мы вводим основные объекты, изучаемые в этой книге, — компактные группы Ли. Применение специального метода «усреднения» позволяет для данного класса групп получить замечательное обобщение теории классических рядов Фурье. Получаемая теория имеет дело с «элементарными гармониками», т. е. неприводимыми представлениями группы и содержит в себе основную информацию о строении этих представлений.
§ 24. Определение компактной группы
В абстрактной топологии важную роль играет различие между компактными и некомпактными множествами. Множество К в метрическом пространстве называется компактным, если оно замкнуто и может быть покрыто конечным числом шаров радиуса при сколь угодно малом По образному выражению Г. Вейля, все «жители» области К находятся под охраной конечного числа «милиционеров» (центры шаров) при условии, что каждый милиционер имеет радиус действия Оказывается, что условие компактности равносильно выполнению любого из следующих двух утверждений, которые лежат в основе многих результатов классического анализа.
Лемма Больцано — Вейерштрасса. Из всякого бесконечного подмножества множества можно извлечь подпоследовательность, сходящуюся в .
Лемма Гейне — Бореля. Из всякого бесконечного покрытия множества К системой открытых множеств можно выбрать конечное подпокрытие.
Поскольку эти утверждения не опираются на понятие метрики, они используются для определения компактности в топологических пространствах, более общих, чем метрические. Наконец, как легко видеть, если множество К расположено в евклидовом пространстве (с обычной топологией), то требование компактности равносильно замкнутости и ограниченности множества К.
Топологическая группа G называется компактной, если она компактна как топологическое пространство. Примеры:
1. Ортогональная группа в вещественном пространстве компактна. Действительно, элементы выделяются среди -мерных матриц условием
которое равносильно ортогональности репера, соответствующего матрице Следовательно,
и группа является подмножеством на сфере радиуса в евклидовом пространстве размерности Следовательно, множество ограничено и, кроме того, оно замкнуто, поскольку условие сохраняется при предельном переходе.
2. Унитарная группа компактна. Доказательство аналогично предыдущему, с заменой прежнего условия условием для матрицы Впрочем, (замена комплексных координат вещественными) и
3. Группы при некомпактны. Действительно, все эти группы наряду с обычными поворотами содержат также систему гиперболических поворотов вида
которые действуют в двумерных плоскостях. Поскольку такая подгруппа гомеоморфна неограниченной
мой, то и каждая из данных групп неограничена как множество.
Топологическое пространство называется локально компактным, если каждая его точка обладает окрестностью с компактным замыканием. Соответственно вводится понятие локально компактной группы. Очевидно, для локальной компактности группы достаточно, в силу принципа однородности, существования окрестности с компактным замыканием хотя бы для точки
Если ограничиться классом групп Ли, то в силу их локальной евклидовости они всегда локально компактны.
Наконец, если группа не компактна и даже не локально компактна, то она может быть названа существенно некомпактной. Группа унитарных операторов в бесконечномерном гильбертовом пространстве является примером такой группы.
Одним из основных результатов теории групп является установление принципиального различия между представлениями компактных и некомпактных групп Ли. В частности, мы увидим, что гармонический анализ на компактной группе Ли сводится к рядам, в то время как на локально компактной группе Ли — к обобщенным интегралам Фурье. В основе этого различия лежит следующее очевидное свойство:
1°. Всякая компактная группа Ли имеет конечный объем (относительно меры Хаара).
Мы предоставляем читателю детальное доказательство этого утверждения. Отметим еще одно свойство меры Хаара, которое является следствием свойства 1°:
2°. На компактной группе Ли всякая мера Хаара является двусторонне инвариантной и инвариантной по отношению к инверсии.
Действительно, если левоинвариантная мера Хаара, то мера снова является левоинвариантной и поэтому в силу принципа единственности отличается
от лишь умножением на константу:
(константа с зависит от Интегрируя обе части этого равенства по группе заметим, что точка пробегает (при фиксированном также всю группу откуда ясно, что где V — конечный объем группы G. Следовательно,
но это и означает, что мера является правоинвариантной. Далее, мера снова является инвариантной, откуда где константа, и прежний прием позволяет заключить, что
Двусторонне инвариантную меру Хаара на группе G мы условимся ради краткости обозначать просто символом Условие
выделяет гильбертово пространство числовых функций на группе которое принято обозначать Если группа G компактна, то для меры Хаара мы будем использовать нормировку
которая означает, что полный объем всей группы полагается равным единице.