§ 69. Нормировка базисных векторов

Условившись считать, что старший вектор имеет единичную норму, мы подберем коэффициенты таким образом, чтобы векторы

оказались ортонормальными (в частности, ). Иначе говоря, мы полагаем

Для вычисления этих коэффициентов нам придется рассматривать операторы сопряженные при

Напомним, что в пространстве представления мы рассматриваем скалярное произведение, по отношению к которому унитарно. Следовательно, антиэрмитовым элементам алгебры X отвечают антиэрмитовы операторы в пространстве представления. Отсюда легко получить, что

Действительно, ввиду аналитичности эрмитовым элементам алгебры X отвечают также эрмитовы операторы в Условие означает, что сумма является эрмитовой, а разность антиэрмитовой; но тогда то же верно и при замене на Докажем теперь, что имеет место Лемма 10. Оператор сопряженный может быть записан следующим образом:

где условия суммирования и коэффициенты те же, что и в лемме 6.

Доказательство. Мы получим нужные соотношения сопряжения для операторов если положим

по определению

для операторов рождения и уничтожения. Используя соотношения коммутации ), мы можем представить оператор следующим образом:

где положено Поскольку каждый бином является самосопряженным, мы имеем отсюда

Окончательное выражение в терминах получается отсюда по правилу расшифровки, указанному в § 68 (см. доказательство леммы 7). Лемма доказана.

Следствие. В применении к старшему вектору подгруппы мы имеем

Действительно, в этом случае обращаются в нуль все остальные слагаемые в Положим теперь

Лемма 11. В применении к старшему вектору подгруппы мы имеем

где правая часть означает оператор умножения на число:

Здесь инфинитезимальный вес вектора относительно подгруппы инфинитезимальный вес вектора относительно

Доказательство. Не ограничивая общности, можем считать, что Используя коммутативность расположим эти сомножители под знаком оператора:

в порядке убывания индексов (при чтении слева направо). Согласно следствию из леммы 10 индукцией по степени находим, что

Перемножая эти операторы, заметим, что перестановочно со всеми сомножителями расположенными правее в следовательно, все произведения, содержащие переносятся без изменения направо. В результате имеем

в применении к старшему вектору подгруппы частности, таким вектором является и сомножитель в этом случае можно заменить на Заметим также, что Следовательно,

в применении к Реализуем теперь неприводимое представление на группе Z и напомним, что согласно следствию из леммы 9 в этом случае

где константа имеет вид

В то же время оператор задается формулой

где означает столбец матрицы Производя дифференцирование, находим, что

Действительно, и применение этого оператора в степени уничтожает множитель заменяя его на Поскольку полученное выражение уже не зависит от мы можем заменить на и т. д.

Теперь остается перемножить все полученные константы. Лемма доказана.

Следствие. где старший вектор подгруппы с сигнатурой старший вектор с сигнатурой

Действительно,

Теперь уже без труда получаем окончательный результат:

Теорема 6. Базисный вектор имеет следующую норму:

где и числа связаны с параметрами схемы соотношениями

Доказательство. Согласно определению вектора он является старшим относительно с сигнатурой

рой Кроме того, этот вектор получается понижающим оператором из вектора старшего относительно с сигнатурой Следовательно,

Выражая аналогично через вектор старший относительно мы приходим после конечного числа шагов к вектору старшему относительно В результате

причем строки схемы Применяя лемму 11, заменяем обозначение на и обозначение на Теорема доказана.

Замечание. Поскольку в выражение для входят только разности чисел мы могли бы также положить С другой стороны, если мы желаем получить параметры, через которые в гл. IX выражались собственные значения операторов Казимира для то следует положить с соответствующей поправкой в формуле для

В заключение отметим некоторые соотношения между функциями которые легко проверяются непосредственно:

Здесь с единицей на месте и определяются так же, как и в лемме Заменяя в на находим также

В частности, и мы имеем

где