§ 5. Локально изоморфные группы Ли

В этом параграфе мы займемся вопросом о возможности восстановления всей группы Ли по соответствующей алгебре Ли. Предварительно остановимся на некоторых общих определениях.

Пусть две произвольные группы. Отображение называется гомоморфизмом группы А в группу В, если

т. е. если «сохраняет умножение». Пусть единичные элементы в соответственно. Покажем, что Действительно,

умножая обе части на левый обратный элемент к получаем Нетрудно также видеть, что для всякого

Если группы топологические, то предполагается также, что функция является непрерывной. Если гомоморфизм накрывает всю группу В, то говорят, что является гомоморфизмом группы А на группу В. Если при этом отображение взаимно однозначно и взаимно непрерывно, то оно называется изоморфизмом. Изморфные группы не считаются существенно различными.

Остановимся несколько подробнее на алгебраических свойствах гомоморфизма. Пусть множество всех для которых множество называется ядром гомоморфизма Покажем, что знание

ядра определяет «степень вырождения» гомоморфизма во всякой точке

Теорема 3. Пусть гомоморфизм группы А в группу его ядро. Множество является инвариантной подгруппой в А. Далее,

для всякой точки где а — произвольно фиксированный элемент, для которого

Доказательство. Первое утверждение легко проверяется. Далее, если а, а — произвольные элементы из то откуда Следовательно,

где а фиксировано и х пробегает Очевидно, эта формула дает общий вид элементов Точно так же где у пробегает Теорема доказана.

Следствие. Гомоморфизм является изоморфизмом тогда и только тогда, когда его ядро состоит из единицы.

Пример 1. Пусть А — аддитивная группа векторов на плоскости и В — аддитивная группа чисел на прямой. Отображение

является гомоморфизмом А на В. Ядро такого гомоморфизма определяется условием т. е. совпадает с осью Всякое множество есть прямая линия, параллельная

Пример 2. Пусть А — аддитивная группа чисел на прямой и -мультипликативная группа комплексных чисел, лежащих на единичной окружности. Отображение

является гомоморфизмом А на В. Ядром такого гомоморфизма является множество всех чисел вида где — произвольное целое число.

Пример 3. Конструкция примера 2 легко обобщается на случай, когда группа А изоморфна произвольному векторному пространству конечной размерности.

В частности, пусть А двумерно и состоит из векторов (х,у). Положим

Тогда отображение является гомоморфизмом А на группу В диагональных матриц второго порядка с собственными значениями, по модулю равными единице. Ядро гомоморфизма составляют пары где произвольные целые числа.

Замечание 1. Группа В в примере 3 изоморфна двумерному тору и как группа совпадает с группой движений этого тора.

Замечание 2. Если группы являются векторными пространствами, то понятие гомоморфизма совпадает в этом случае с понятием аддитивного оператора.

Вернемся теперь к теории групп Ли. Две топологические группы называются локально изоморфными, если существует взаимно однозначное отображение между окрестностями единичных элементов которое переводит единицу в единицу и сохраняет закон умножения внутри окрестностей Последнее означает, что

если и то же верно для обратного отображения определенного на окрестности В частности, если группы изоморфны, то они и локально изоморфны, в то время как обратное, вообще говоря, неверно. Две группы Ли, очевидно, могут быть локально изоморфны только в том случае, когда они имеют одинаковую размерность.

Примерами локально изоморфных групп являются группы рассмотренные в этом параграфе в примерах 2 и 3. Группы в примере 1 не могут быть локально изоморфными, поскольку имеют разную размерность.

Если две группы Ли локально изоморфны, то они имеют, очевидно, одну и ту же алгебру Ли. Обратно, если группы имеют одну и ту же алгебру Ли, то,

согласно теории Ли, они локально изоморфны. Следовательно, можно заключить, что алгебра Ли определяет группу Ли с точностью до локального изоморфизма.

Замечание. Множество назовем локальной группой Ли, если оно топологически отождествляется с некоторой окрестностью -мерного векторного пространства и если в нем введена групповая операция аналитическая в параметрах и определенная для точек достаточно близких к единице. Вся теория Ли может быть переформулирована для локальных групп Ли; при этом локальная группа уже однозначно определяется своей алгеброй

В дальнейшем мы условимся рассматривать лишь конечномерные алгебры Ли, опуская для краткости слово «конечномерные». Если X — такая алгебра, то мы введем обозначение для множества всех аналитических групп, имеющих X своей алгеброй Ли. При этом две группы считаются одинаковыми, если они изоморфны. Согласно сказанному выше все группы класса локально изоморфны. Проблема состоит в описании класса

Прежде всего, возникает вопрос, является ли класс непустым для произвольной алгебры Ответ является положительным, но его доказательство слишком сложно. Мы наметим идею доказательства в § 107. Далее, имеет место

Теорема В каждом классе существует «максимальная» группа определяемая однозначно. Максимальность означает, что всякая группа является гомоморфным образом

Идея доказательства этой теоремы состоит в построении «накрывающего многообразия» для каждой группы Понятие накрывающего многообразия в топологии основано на той же идее, что и понятие римановой поверхности в теории функций комплексного переменного. Мы не станем воспроизводить подробности этого определения, отсылая читателя к руководствам по общей топологии либо к книге Шевалле [46] (т. I, стр. 61). Известно, что если связное многообразие, каждая точка которого обладает базисной системой связных окрестностей, то среди многообразий, накрывающих

существует максимальное многообразие (см. [46]). Максимальность означает при этом, что всякое накрытие гомеоморфно Если группа, то многообразие также наделяется структурой группы, причем группа G является гомоморфным образом Если группы локально изоморфны, то их накрывающие оказываются изоморфными.

Указанное выше многообразие может быть также однозначно охарактеризовано свойством односвязности. Это означает, что всякий замкнутый цикл в многообразии может быть стянут в точку непрерывной деформацией в (В частности, прямая односвязна, а окружность неодносвязна, причем прямая является накрывающим многообразием для окружности.) Таким образом, группа из теоремы является односвязной. Она называется универсальной накрывающей класса

Следствие 1. Существует взаимно однозначное соответствие между алгебрами Ли и односвязными группами Ли.

Следствие 2. Две группы Ли локально изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одну и ту же универсальную накрывающую.

Рассмотрим в качестве простейшего примера тот случай, когда алгебра X одномерна. Очевидно, в этом случае X коммутативна. Роль универсальной накрывающей класса играет аддитивная группа вещественных чисел (группа сдвигов на прямой). Элементом класса является также мультипликативная группа комплексных чисел (группа вращений окружности). Если рассматривать каждую группу с точностью до изоморфизма, то легко показать (см. упражнение 2 в конце параграфа), что указанными двумя группами исчерпывается в данном случае весь класс

Таким образом, теорема в известном смысле завершает теорию групп Ли. Мы сделаем, однако, еще одно простое замечание, которое позволит уяснить структуру формулы

указанной в теореме Пусть произвольная группа. Всякий элемент перестановочный со всеми элементами из называется центральным. Множество всех центральных элементов называется центром группы

Теорема 4. Ядро гомоморфизма указанного в теореме является дискретным и содержится в центре группы

Доказательство. Пусть ядро гомоморфизма Из непрерывности следует замкнутость Подгруппа как замкнутая подгруппа в группе Ли, сама является группой Ли. Однако не может содержать ни одной однопараметрической подгруппы, поскольку взаимно однозначно в окрестности точки Следовательно, дискретно.

Далее, для каждого введем «орбиту» как совокупность всех элементов вида тогда поскольку инвариантно относительно внутренних автоморфизмов. Всякая орбита является связной в силу связности и в то же время дискретной ввиду дискретности Это может быть только тогда, когда состоит из единственной точки х. Следовательно, при всех и всякий элемент является центральным. Теорема доказана.

Следствие. Для перечисления всех групп класса достаточно перечислить подгруппы, лежащие в центре группы

Дискретные подгруппы, лежащие в центре группы мы будем также называть дискретными делителями группы Если где односвязная подгруппа и ее дискретный делитель, то Z называется фундаментальной группой или группой Пуанкаре многообразия G. Фундаментальная группа показывает «степень неодносвязности» многообразия G.

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)