§ 103. Фундаментальная группа и центр

В этом параграфе мы займемся вопросом об описании класса всех локально изоморфных групп Ли с данной алгеброй Ли Алгебра X предполагается компактной. Рассмотрим вначале тот случай, когда алгебра X полупроста.

Пусть односвязная группа Ли с алгеброй Ли Далее, пусть присоединенная группа, т. е. связная компонента единицы в группе всех автоморфизмов алгебры Группа компактна. Поскольку алгебра X предполагается полупростой, то группа имеет X своей алгеброй Ли, т. е. Группы являются «максимальной» и «минимальной» группами в классе Действительно, если — центр группы то изоморфна

Основным результатом этого параграфа является

Теорема 10. Пусть X — полупростая компактная алгебра Ли. Тогда односвязная группа с со компактна и центр этой группы конечен.

Следствие 1. Существует лишь конечное число локально изоморфных связных групп Ли с полупростой компактной алгеброй Ли

Следствие 2. Универсальная накрывающая полупростой компактной группы Ли компактна.

Следствие 3. Центр полупростой компактной группы Ли конечен.

Прежде чем приступить к доказательству этой теоремы, сделаем следующее замечание. В комплексной оболочке выберем базис Картана — Вейля где а — произвольный корень. Напомним, что алгебра X натянута на векторы где

и — произвольный простой корень. Линейную оболочку векторов обозначим о есть максимальная

коммутативная подалгебра в Далее, рассмотрим в множество всех преобразований

где произвольный вектор из (корень а рассматривается также как вектор из Нетрудно видеть, что эти преобразования сохраняют алгебру Следовательно, мы получаем коммутативную связную подгруппу где присоединенная группа для

Поскольку алгеброй Ли подгруппы является максимальная коммутативная подалгебра мы можем заключить, что является максимальным тором в -Применяя теорему 9, получаем, что всякий элемент может быть представлен в виде

Иначе говоря, всякая матрица из может быть приведена в к диагональному виду с диагональной матрицей Очевидно, отображение ( является аналитическим. Разложение можно в известном смысле (§ 72) рассматривать как выбор параметров в группе

Заметим, что собственными значениями матрицы у являются где а — корень и набор канонических координат элемента Поскольку вектор вполне определяется своими проекциями на корни а, то матрица у определяется собственными значениями матрицы однозначно с точностью до перестановки этих собственных значений. Следовательно, при фиксированном мы получаем лишь конечное число разложений с различными диагональными элементами у. Это замечание будет существенно использовано при доказательстве теоремы 10.

Напомним, что вектор называется регулярным (§ 91), если оператор имеет ровно нулевых собственных значений, где Соответственно элемент назовем регулярным, если матрица имеет ровно единичных собственных значений,

Доказательство теоремы 10. Исходя из группы мы можем непосредственно вычислить центр односвязной группы Действительно, согласно общему определению односвязной накрывающей центр изоморфен фундаментальной группе (группе Пуанкаре) многообр азия

1. Пусть — множество всех нерегулярных элементов из Покажем, что является объединением конечного числа многообразий размерности где размерность многообразия Действительно, фиксируем корень а и обозначим множество всех матриц Для которых Далее, пусть

— множество всех элементов вида где у пробегает Ясно, что

где подгруппа в группе перестановочная с Если то элемент перестановочен не только с но также и с Отсюда ясно, что алгебра Ли подгруппы натянута на Следовательно, В результате

(Действительно, является объединением всех

2. Рассмотрим элемент достаточно близкип к единице и регулярный. Рассмотрим произвольный замкнутый путь, проходящий через В силу предыдущего замечания мы можем рассматривать (за счет небольшой деформации) только пути, обходящие сингулярное множество Используя разложение как параметризацию в запишем данный путь в виде

Положим и покажем, что возможно неравенство т. е. путь может оказаться незамкнутым. Действительно, поскольку то элемент удовлетворяет соотношению

Если переставляет собственные значения матрицы то это равенство возможно. Следовательно, в этом

случае путь не может быть непрерывной деформацией стянут в точку (при условии закрепления концов).

3 С другой стороны, если путь является замкнутым, то он может быть стянут в точку внутри тора Действительно, матрица имеет собственные значения где -непрерывный путь в Путь может быть незамкнутым в только в том случае, когда где каф хотя бы при одном значении а целое число). Нетрудно видеть, что в этом случае путь проходит через сингулярный элемент, что исключается. Следовательно, путь у (0 может быть непрерывной деформацией переведен в путь

Положим теперь где однопараметрическая подгруппа, проходящая через с аддитивным параметром Полагая заключаем, что в то время как путь вырождается в точку Следовательно, путь непрерывной деформацией переводится в точку.

Сопоставляя пункты 2 и 3, мы видим, что в пространстве существует лишь конечное число классов путей, где пути из каждого класса гомотопны между собой (т. е. переводятся друг в друга непрерывной деформацией). Следовательно, фундаментальная группа 3 конечна. Поэтому группа компактна. Теорема доказана.

С другой стороны, если X — коммутативная алгебра Ли, то односвязная группа изоморфна векторному пространству. Следовательно, в этом случае аналог теоремы 10 не имеет места. В этом состоит одно из основных различий между полупростыми и коммутативными алгебрами Ли.

Теорема 11. Всякая компактная связная группа Ли может быть записана следующим образом-.

где — односвязная связная полупростая компактная группа Ли, А — коммутативная связная компактная группа Ли и С — конечный центральный делитель такой, что

Доказательство. Пусть X — алгебра Ли группы где — центр алгебры Пусть — односвязная компактная группа Ли с алгеброй Ли есть -мерное векторное пространство, где Группа является односвязной группой с алгеброй Ли Всякая группа может быть записана в виде

где гомоморфизм, ядром которого является дискретный центральный делитель Для каждого мы имеем

где пробегает пробегает Следовательно, также где и — гомоморфизм, определяемый формулой Множество А элементов вида изоморфно и потому является связной подгруппой в G. В результате

Если G компактна, то подгруппа А также должна быть компактной. Кроме того, элемент а обращается в единицу только при Следовательно, если С — ядро гомоморфизма то Теорема доказана.