§ 3. Параметрические группы и группы Ли

Мы значительно приблизимся к обычной ситуации анализа, если вместо общих топологических групп введем специальное понятие параметрической группы. Группа G называется параметрической или локально евклидовой, если она параметризуется (хотя бы локально, т. е. в окрестности каждой точки) некоторой системой вещественных параметров

и если при этом закон умножения и взятия обратного элемента выражается непрерывной функцией от набора параметров Записывая обе групповые операции в виде мы имеем

где - непрерывная вектор-функция от совокупности переменных Говоря о том, что множество G параметризуется, мы имеем в виду, как обычно, что G является топологическим или локально евклидовым многообразием.

Таким образом, параметрическая группа представляет собой топологическое многообразие, наделенное групповой структурой, причем эта структура определенным образом согласована с топологией в множестве G (непрерывность

Если мы желаем охватить даже простейшие важные случаи некоммутативных матричных групп, то нет никакой надежды, что параметризация будет глобальной, т. е. единой на всей группе G. Так, если группа G состоит из всех матриц второго порядка

с определителем, равным единице, то многообразие G выделяется из четырехмерного евклидова пространства уравнением Выбирая в качестве независимых параметров, мы находим

откуда ясно, что полученная параметризация справедлива лишь в тех областях группы где Закон умножения в этом случае задается рациональными функциями от

Как увидим в дальнейшем, ситуация рассмотренного примера является достаточно общей, т. е. в большинстве практически важных случаев удается вложить группу G в объемлющее евклидово пространство и записать закон умножения с помощью рациональных функций. Тем не менее мы должны при развитии общей теории иметь в виду обычные трудности, связанные с локальной параметризацией, т. е. с наложением «евклидова атласа» на многообразие G.

Замечание 1. Если уже известно, что группа G является параметрической, то наложение «евклидова атласа» можно осуществить с помощью (левых или правых) трансляций в группе G. Действительно, выбирая независимые параметры в некоторой окрестности точки мы разносим эту окрестность во все остальные точки с помощью сдвигов. Нетрудно проверить, исходя из определения параметрической группы, что мы получаем таким путем непрерывное согласование параметров в тех местах, где карты «атласа» взаимно пересекаются.

Замечание 2. Согласно определению параметрической группы всякая такая группа является локально связной, т. е. любая ее точка обладает связной окрестностью. Отсюда следует, в частности, что группа над полем рациональных чисел не является параметрической. Согласно общим концепциям анализа мы придаем особое значение полю вещественных чисел.

Сделаем теперь небольшое отступление в область произвольных топологических групп. Множество называется системой образующих в группе если степени покрывают всю группу G. Следующая теорема подчеркивает роль окрестности в связной группе

Теорема 2. В связной группе G всякая окрестность единичного элемента является системой образующих.

Доказательство. Фиксируем окрестность точки и пусть объединение всех степеней т. е. множество всех элементов, представимых (вообще говоря, неоднозначно) в виде при некоторых и при сколь угодно высоком Очевидно, открытое связное множество в G. Мы покажем, что

Действительно, пусть точка, лежащая на границе Выберем точку настолько близкой к единице, чтобы содержалось в и в то же время содержалось в окрестности Тогда имеем откуда

при Следовательно, вопреки предположению о том, что лежит на границе Полученное противоречие показывает, что Теорема доказана.

Наконец, введем еще одно фундаментальное определение. Группа G называется группой Ли, если она параметрическая и если функция задающая закон умножения, вещественно-аналитична

Можно было бы ввести понятие группы, несколько раз дифференцируемой, однако существует следующая замечательная теорема: всякая параметрическая группа в действительности является группой Ли. Эта теорема является решением знаменитой V проблемы Гильберта. Мы не можем в рамках данной книги останавливаться на доказательстве этой теоремы (см. [36]). Смысл ее состоит в том, что групповая структура позволяет получить замечательные следствия в терминах анализа: непрерывность функции оказывается достаточной для ее аналитичности.

Простейшим аналогом такой ситуации является решение функционального уравнения

в классе непрерывных функций на числовой прямой. Как известно, это уравнение имеет лишь экспоненциальные решения:

которые аналитичны. Аналогичный результат имеет место и в классе непрерывных матричных функций

Существенно важными объектами в теории групп Ли являются, естественно, лишь связные группы Ли. Такие группы называются также аналитическими группами.

Аналитическая группа представляет собой аналитическое многообразие, наделенное групповой структурой, при условии известной согласованности этой структуры со структурой аналитического многообразия (аналитичность ). Более подробное определение аналитической группы и группы Ли можно найти в монографиях [38], [45], [46].