§ 53. Симметризаторы Юнга

Мы будем рассматривать формальные линейные комбинации элементов т. е. групповое кольцо, состоящее из элементов Каждой стандартной диаграмме Юнга поставим в соответствие элемент

называемый симметризатором Юнга. Здесь пробегает пробегает и знак определяется четностью или нечетностью подстановки Если данная диаграмма состоит из одной строки, то оператор с определяет усреднение по группе если диаграмма состоит из одного

столбца, то этот оператор определяет альтернирование по группе Очевидны следующие тождества:

где знак определяется четностью или нечетностью подстановки (т. е. числом транспозиций в этой подстановке). Если вместо нумерации считать стандартной нумерацию (нумерацию предметов на полях диаграммы ), то вместо оператора с получаем оператор

который будем называть эквивалентным оператору с. Положим также Покажем, что симметризаторы Юнга обладают рядом замечательных коммутационных соотношений.

Лемма 3. Положим Тогда имеем:

1) , где константа зависит от сигнатуры а (но не зависит от s);

2) , если либо либо но не выражается элементарно через ;

3) , если при этом и знак определяется как

Доказательство. Положим Как следует из элемент х удовлетворяет тождествам Записывая х в виде находим отсюда, что функция удовлетворяет следующему тождеству:

где знак определяется как Если не элементарно, то, как мы знаем (следствие из леммы 2), существует пара транспозиций таких, что Следовательно, в этом случае

ибо транспозиция нечетна. Следовательно, в этом случае и функция может быть отлична от нуля только при элементарном, Но тогда имеем

где по-прежнему знак определяется как Полагая мы находим, что Свойство 1) доказано. Для доказательства свойства 2) достаточно использовать транспозицию для которой согласно мы имеем сто то Элемент удовлетворяет при этом соотношению

В результате Наконец, свойство 3) получается непосредственной проверкой. Лемма доказана.

Докажем, что константа отлична от нуля. Пусть К — групповое кольцо группы (т. е. линейное пространство размерности Всякий элемент рассматриваемый как оператор левого умножения задается квадратной матрицей где пробегают Следовательно,

где слева имеется в виду след оператора левого умножения. Положим и пусть область значений оператора с. Поскольку след любого оператора совпадает со следом на области значений, то для вычисления с достаточно рассматривать подпространство Но согласно 1) на 10 оператор с сводится к умножению на . В результате и мы имеем

откуда результате получаем

Следствие. Всякий оператор является проекционным и два проектора с взаимно ортогональны если выполняется условие 2) из леммы 3.

Если фиксировать симметризатор и усреднить выражение по группе то мы получаем элемент, перестановочный со всеми элементами из Положим

где сумма берется по всем подстановкам Полученный элемент, зависящий только от сигнатуры а, мы будем также обозначать символом Нетрудно проверить, используя лемму 3, что

для всякого симметризатора отвечающего данной сигнатуре а. Оператор мы будем называть центральным симметризатором Юнга.

Лемма 4. Центральные сим метризаторы являются взаимно ортогональными проекционными операторами:

Доказательство. Если использовать тождество то мы находим

Далее, поскольку операторы взаимно перестановочны, то можем считать, не ограничивая общности, что Тогда согласно свойству 2) имеем

(здесь сумма берется по всем элементам Лемма доказана.

Лемма 5. Пусть единичный элемент в группе совокупность всевозможных центральных симметризаторов Юнга. Тогда т. е. проекторы осуществляют разложение единицы в групповом кольце группы

Доказательство. Пусть X — групповое кольцо и — его центр. Элементы содержатся в 3 и линейно независимы в силу свойства ортогональности. Число таких элементов равно числу всевозможных сигнатур . С другой стороны, если содержится в , то функция должна удовлетворять следующему

тождеству:

для всякого Следовательно, размерность линейного пространства 3 равняется числу классов сопряженных элементов в группе 5. Как мы видели в § 34, число таких классов также равняется числу сигнатур. Действительно, если использовать преобразования то всякая подстановка может быть приведена к «нормальной форме» вида

где ой означает цикл длины и числа расположены под знаком этих циклов в нормальном порядке. В результате мы видим, что элементы образуют базис в пространстве . Поскольку то мы имеем Умножая последовательно на получаем, что Лемма доказана.

В заключение заметим, что проекторы являются минимальными проекторами в Это означает, что если где взаимно ортогональные проекторы, то либо либо Действительно, согласно определению проекторов мы имеем . С другой стороны, повторяя доказательство пункта 1) из леммы 3, получаем, что всякий элемент коллинеарен элементу . В частности,

Поскольку проектор и ненулевой проектор, то числа могут принимать только значения и 1. Поскольку также то Следовательно, либо