§ 65. Индикаторные системы

В предыдущем параграфе мы ввели понятие индикаторной системы лишь для аналитических представлений Заменяя а двумя сигнатурами мы рассмотрим теперь более общую индикаторную систему

где аналитические и антианалитические операторы левого сдвига на группе Z, отвечающие элементам Неприводимое вещественное представление группы определяемое сигнатурами мы условимся обозначать

Теорема 1. Пусть пространство полиномов на группе Z, в котором действует неприводимое представление Тогда совпадает с совокупностью всех решений индикаторной системы

Доказательство. Займемся сначала сравнительно простым алгебраическим вопросом. Линейный оператор А называется нульстепенным, если при некотором натуральном Если нульстепенны, то это не обязательно имеет место для суммы и коммутатора Покажем, однако, что выполняется

Лемма 2. Пусть линейные операторы в векторном пространстве V (без топологии) и операторы В являются нульстепенными на некотором подпространстве :

Если коммутатор перестановочен с то он также является нульстепенным на При этом всякая линейная комбинация операторов А, В, С также является нульстепенной на

Доказательство. Заметим, что по условию леммы подпространство не предполагается инвариантным относительно А а В. Положим тогда при и мы в действительности получаем конечное число подпространств. Покажем, что оператор В по-прежнему является нульстепенным на каждом из этих подпространств. Для этого достаточно использовать следующее общее тождество:

которое справедливо для любых двух операторов вообще для любых элементов абстрактной ассоциативной алгебры). Здесь положено кратности биномиальные коэффициенты. Полагая, в частности, получаем, что следовательно, в правой части остается лишь два слагаемых, содержащих Следовательно, Точно так же Следовательно, оператор В является нульстепенным также на геометрической сумме подпространств В этом случае определен также конечный степенной ряд

Рассмотрим теперь оператор Применяя этот оператор к функции и пользуясь равенствами легко получаем, что Для наших целей достаточно рассматривать случай Применяя оператор V повторно, получаем в результате следующее равенство:

Применяя обе части этого равенства к векторам замечаем, что мы не выходим за пределы геометрической суммы (поскольку следовательно, является полиномом от при достаточно высоком Следовательно, на .

Далее, используя соотношения коммутации между легко проверить следующее тождество, в котором каждая экспонента рассматривается как формальный степенной ряд по переменной

Это равенство следует понимать как равенство всех операторных коэффициентов при степенях переменной Поскольку перестановочны, мы можем записывать правую часть также в виде

В результате имеем

Применим обе части этого тождества к элементам Тогда, как и прежде, мы не выйдем за пределы геометрической суммы подпространств при действии Следовательно, является полиномом от на Поскольку С перестановочно с то можно применять непосредственно к элементу Следовательно, является полиномом на Но тогда при достаточно высоком То же верно для Лемма доказана.

Следствие. Пусть представление алгебры в векторном пространстве V (без топологии) и операторы

нульстепенны на некотором подпространстве Тогда и все операторы нульстепенны на с показателями равномерно ограниченными по х.

Доказательство. Согласно лемме 2 из нульстепенности следует нульстепенность Проводя индукцию по заключаем, что всякий оператор является нульстепечным на Полагая, далее,

(сумма по от 1 до замечаем, что все слагаемые этой суммы взаимно перестановочны; следовательно, существует показатель для которого При фиксированном операторы и

удовлетворяют условиям леммы 2 (проверку опускаем). Следовательно, из нульстепенности вытекает нульстепенность Понижая от до 1, получаем наше утверждение. Следствие доказано.

Докажем теперь, что имеет место Лемма 3. Пространство всех решений системы конечномерно.

Доказательство. Пусть произвольная матрица из которой над диагональю все элементы равны нулю, кроме элементов расположенных в столбце. Тогда, как легко проверить, произвольная матрица может быть однозначно записана в виде

Заметим, что множество всех матриц вида является абелевой подгруппой в Z и координаты являются аддитивными параметрами в Мы будем рассматривать числа как параметры во всей группе Z. Фиксируем матрицу и рассмотрим в группе Z однопараметрическую подгруппу вида

Пусть инфинитезимальный оператор левого сдвига на Z, порожденный этой подгруппой. Пусть соответствующий антианалитический оператор. Тогда, очевидно,

Вводя обозначение для совокупности всех решений индикаторной системы замечаем, что согласно следствию из леммы 2 любой инфинитезимальный оператор левого сдвига является нульстепенным на При этом можем считать, что показатель не зависит от В частности,

и это означает, очевидно, что всякая функция является полиномом по степени не выше Следовательно, состоит из полиномов ограниченной степени. Лемма доказана.

Теперь уже нетрудно завершить доказательство теоремы 1. Мы имеем

где совокупность всех решений индикаторной системы Согласно лемме конечномерно. Кроме того, перефразируя лемму 1 на случай системы заключаем, что инвариантно относительно операторов

Поскольку эти операторы являются рациональными функциями от нам надлежит еще показать, что они не имеют полюсов на Действительно, если элементы достаточно близки к единице, то т. е. элемент допускает разложение Гаусса, и выражение определено. Поскольку удовлетворяет индикаторной системе вместе с то является полиномом на Z и потому определено всюду на Z. Следовательно, оператор определен в для достаточно близких к но тогда в силу связности G также и на всей группе G. Следовательно, эти операторы определяют представление в

Из единственности старшего вектора следует, что представление в пространстве неприводимо. Следовательно, Теорема доказана.

Замечание. До сих пор мы не уточняли, в каком пространстве функций рассматривается система Однако ясно, что допустима любая традиционная постановка задачи — либо в классе достаточное число раз дифференцируемых функций либо даже в классе обобщенных функций. При этом мы показываем, что все решения в действительности являются полиномами на группе Z.

Обращаясь к реализации на группе из теоремы 1 легко получаем

Следствие. В реализации на группе G пространство неприводимого представления совпадает с совокупностью всех решений системы дополненной аналогичными соотношениями для антианалитических операторов.

Действительно, если где множество всех решений указанной системы, то очевидно, удовлетворяет системе т. е. Поскольку инвариантно относительно правых сдвигов на образ этого пространства при сужении на Z инвариантен относительно операторов Ввиду неприводимости этот образ совпадает с

Если нас интересуют только аналитические представления группы то мы полагаем и получаем, что пространство в котором действует представление выделяется индикаторной системой 1а с дополнительными условиями

которые означают, что полином зависит только от но не от гц. Иначе говоря, выделяется системой 1а в классе всех аналитических функций на группе Z. Система может рассматриваться как аналог уравнений Коши — Римана для группы Z.