§ 31. Завершение доказательства в общем случае

Имея дело с абстрактной группой мы вместо тензорных преобразований рассматриваем множество всех (абстрактно определенных с точностью до эквивалентности) неприводимых конечномерных представлений группы G. Пусть линейная оболочка матричных элементов всех таких представлений. Повторяя рассуждения § 28, заключаем (из принципа полной приводимости), что множество является алгеброй относительно обычного умножения.

Лемма 8. Алгебра разделяет точки группы G.

Доказательство. Пусть равномерное замыкание алгебры Покажем, что содержит произвольную непрерывную функцию на группе для которой Действительно, сопоставим функции интегральный оператор левой свертки

Как известно, такой оператор вполне непрерывен (это следует из компактности множества Из условия следует также, что X — симметричный оператор Гильберта — Шмидта. Согласно известным результатам теории интегральных операторов ядро пред ставимо в виде равномерно сходящегося ряда с элементами вида где собственные функции оператора соответствующие собственные значения. Полагая, в частности, мы находим

где сходимость ряда равномерная. Покажем теперь, что собственные функции при содержатся в алгебре Действительно, пусть пространство всех собственных функций с собственным значением

к . Поскольку оператор X вполне непрерывен, пространство конечномерно. Поскольку оператор X порождается левыми сдвигами, пространство инвариантно относительно правых сдвигов. Пусть произвольный базис в пространстве Рассуждая, как в § 18, получаем, что

где конечномерное представление, действующее в Следовательно, и отсюда следует, что

Поскольку функции указанного вида разделяют точки группы то же верно и для алгебры Лемма доказана.

Замечание. Всякая непрерывная функция на G может быть записана в виде где — функции такого же класса, как рассмотренные в доказательстве леммы 8. Следовательно, где пространство всех непрерывных функций на и мы получаем доказательство аппроксимационной теоремы для любой компактной группы G.

Заключающим элементом нашей конструкции является

Лемма 9. Если алгебра разделяет точки группы где компактная группа Ли, то G допускает точное линейное представление.

Доказательство. Если алгебра разделяет точки группы, то для каждой точки найдется конечномерное представление такое, что не содержится в его ядре. Следовательно, где ядро Следовательно, система открытых множеств покрывает группу G с выколотой точкой Следовательно, эта система покрывает также всякое замкнутое множество вида где окрестность точки

Согласно лемме Гейне — Бореля множество покрывается конечной системой множеств Но это означает, что подгруппа

целиком содержится в окрестности Заметим, что является ядром представления (прямая сумма).

Предположим теперь, что окрестность ограничена и допускает канонические координаты. Если произвольная однопараметрическая группа, то она гомеоморфна окружности либо прямой, в то время как пересечение гомеоморфно ограниченному открытому множеству на прямой. Следовательно, целиком не содержится в Следовательно, не содержит ни одной параметрической подгруппы, но тогда и вообще ни одной подгруппы, кроме точки В этом случае и представление является точным. Лемма доказана.

Комбинируя леммы 8 и 9, получаем в результате, что всякая компактная группа Ли допускает точное линейное представление.

Глобальная теорема полностью доказана.

Упражнение

(см. скан)