§ 45. Модель неприводимых представлений SU(3)

В этом параграфе будет рассмотрена простая модель неприводимого представления группы которая при содержит все неприводимые представления этой группы (определяемые с точностью до эквивалентности)

Пусть -мерное пространство и — пространство тензоров над раз ковариантпых и раз контравариантных, т. е. тензоров вида По аналогии со случаем мы можем ограничиться рассмотрением тензоров, симметричных по и симметричных по В этом случае вместо тензоров можно рассматривать полиномы

где — ковариантная строка и -контравариантный столбец. Очевидно, пространство этих тензоров все еще приводимо. Действительно, свертка по любой паре индексов перестановочна с преобразованиями в классе тензоров. В частности, тензоры, для которых эта свертка дает нулевой результат, инвариантны относительно любой аффинной группы G.

Пусть пространство тензоров из симметричных отдельно по нижним, отдельно по верхним

индексам и таких, что свертка по индексам обращается в нуль. В силу условия симметричности свертка по любой паре индексов при этом также обращается в нуль. Пусть представление группы в этом классе тензоров. Покажем, что неприводимо.

1. Найдем все элементы со которые аннулируются повышающими операторами. Заметим, что в классе полиномов преобразования группы G задаются следующей формулой:

Вместо повышающих операторов мы можем рассматривать соответствующие однопараметрические подгруппы:

(здесь имеется в виду, что все остальные координаты остаются неизменными.) Если со аннулируется операторами то является инвариантом относительно этих подгрупп. Полагая, в частности, подбираем параметры каждой из этих подгрупп из условия Это возможно сделать при Поскольку со вполне определяется своими значениями при то мы находим из условия инвариантности

где отличается от только первой координатой (которая может быть найдена из условия инвариантности свертки Полагая, далее, мы добиваемся аналогично обращения в нуль всех координат вектора кроме последней координаты при этом, как легко видеть, все координаты первого вектора остаются неизменными, за исключением последней. В результате имеем

Значение определяется из условия инвариантности свертки Следовательно, является полиномом от Поскольку в то же время со является полиномом от х и то ясно, что со является полиномом от результате

где полином.

2. До сих пор мы не использовали равенство нулю всех сверток в пространстве Заметим, что взятие свертки равносильно, с точностью до множителя, применению дифференциального оператора

Таким образом, для всех элементов Нетрудно проверить, что из всех полиномов от о этому условию удовлетворяют только те полиномы, которые не зависят от а. Среди таких полиномов пространству принадлежит лишь единственный (с точностью до множителя) одночлен

3. Используем теперь принцип полной приводимости. Как мы видели в § 44, каждое неприводимое представление группы G обладает старшим вектором. Если бы представление в было приводимо, то решение со определялось бы неоднозначно. Следовательно, неприводимо.

Замечание 1. Если использовать координаты

то свертка записывается в виде суммы квадратов этих (комплексных) координат. Соответственно оператор введенный выше, отождествляется с оператором Лапласа в комплексном евклидовом пространстве размерности Следовательно, отождествляется с пространством гармонических полиномов степени однородности по х, степени однородности по

Замечание 2. Можно показать, что все полиномы однозначно определяются своими значениями на конусе Действительно, если на К, то, заменяя векторы линейными комбинациями вида и варьируя коэффициенты получаем, что полилинейная форма с коэффициентами обращается в нуль на всяком наборе векторов попарные свертки между которыми равны нулю. Фиксируя все переменные, кроме приходим к рассмотрению формы второго порядка:

для коэффициентов которой выполняется условие (свертка по Приравнивая нулю дифференциал этой формы и пользуясь условием легко находим, что при (не зависит от ). Согласно условию о свертке находим, что при каждом Следовательно, Применяя то же рассуждение к форме по переменным и продолжая этот процесс, получаем после конечного числа шагов равенство

Следовательно, может быть реализовано в классе полиномов на конусе К. Это утверждение можно также получить как тривиальное следствие результатов следующей главы.

Замечание 3. В приведенном выше построении старший вектор представления был найден явно. Для определения старшего веса введем диагональную матрицу и найдем собственное значение из условия Поскольку то мы имеем

Полагая теперь и вычисляя производные по при получаем искомый старший вес:

Если рассматривать только подгруппу то из

условия следует, что всякие два веса можно отождествить (они определяют одно и то же собственное значение В частности, при вместо веса можно рассматривать вес

где положено с произвольным слагаемым Следовательно, при в нашей конструкции встречается произвольный старший вес относительно подгруппы

Рис. 1.

Отсюда естественно предположить, что данная конструкция содержит все неприводимые представления Действительно, это будет следовать из результатов следующей главы.

В силу принципа аналитического продолжения то же верно для подгруппы

В заключение рассмотрим несколько более подробно простейшие представления Первые два из этих представлений трехмерны, последнее восьмимерно. Построим весовые диаграммы этих представлений. Условимся рассматривать только подгруппу Тогда всякий вес определяется, как мы видели выше, с точностью до общего слагаемого у координат Нормализуем этот вес условием и будем на этой плоскости рассматривать ортогональную проекцию трехмерной системы координат. Тогда для представлений получаем графики, изображенные на рис. 1.

Действительно, в случае пространство натянуто на базисные векторы которым отвечают веса (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) изображенные на первой диаграмме. Точно так же в случае пространство натянуто на базисные векторы с весами Единицы, стоящие у точек весовой диаграммы, означают, что каждый вес содержится в данном случае с кратностью 1. Точно так же для представления получаем следующий график (рис. 2):

Рис. 2.

Система весов в этом случае имеет вид (2, 1,0), (1,2,0) (0,2,1), (0,1,2), (1,0,2), (2,0,1), (0,0,0). Последний вес содержится двукратно. Система весов распадается на две орбиты относительно группы Вейля.

Представления могут быть охарактеризованы с геометрической точки зрения как преобразования вектора и бивектора над трехмерным пространством («кварк» и «антикварк» в терминологии физиков). Представление («октет») будет в дальнейшем охарактеризовано как «присоединенное представление»

Как уже было сказано во введении к этой главе, принцип аналитического продолжения в теорию представлений был впервые введен Вейлем. Этот принцип позволил использовать для надкомпактных групп богатую информацию, даваемую глобальной теоремой.

В дальнейшем мы покажем, что комплексные группы допускают независимое изучение благодаря простой алгебраической структуре. (Можно было бы провести эту точку зрения последовательно, но мы не ставили подобной цели в этой книге). Следовательно, принцип аналитического продолжения можно использовать «в обратную сторону» — для получения информации о структуре представлений компактной группы.

Примеры, приведенные в этой главе (представления следует рассматривать как иллюстративные. В них принцип аналитического продолжения комбинируется с инфинитезимальным методом. В дальнейшем, как уже было сказано, мы предпочтем глобальный метод; однако инфинитезимальную конструкцию желательно все время иметь в виду вследствие ее наглядности.