§ 130. Сужение Sp(n)/Sp(n-2)

В данном случае редукция нетривиальна ввиду того, что размерность приходится понижать сразу на две единицы. Правда, вместо подгруппы, изоморфной можно рассматривать подгруппу, изоморфную (о чем мы скажем ниже). Вместо этого мы рассмотрим сейчас несколько более легкую задачу, выделяя в ее диагональную часть.

Группа реализуется так же, как и в Напомним, что четно, Подгруппа определяется как совокупность всех преобразований из которые диагональны на координатах с номерами При этом из условия симметричности вытекает, что мы вправе рассматривать только преобразования Полагая получаем подгруппу, изоморфную Ясно также, что изоморфна , где А — мультипликативная группа комплексных чисел. Сигнатуру этой группы мы будем записывать в виде

где сигнатура подгруппы целочисленный параметр, определяющий характер подгруппы А.

Теорема 4. Сужение на подгруппу содержит в спектре все сигнатуры вида

где положено

и где целочисленные индексы принимают всевозможные значения в пределах

Если то символы отсутствуют и

Доказательство. Искомое пространство Z-вариантов состоит из полиномов, которые зависят только от элементов следующих двух столбцов:

при условии, что параметры в группе Z выбираются так же, как и в § 113 (первый способ). Индикаторная система в пространстве имеет вид

Здесь положено и параметры выражаются через параметры обычными формулами: Решение такой системы довольно сложно, однако мы можем воспользоваться аналогией с полной линейной группой Действительно, точно такой же вид имеет индикаторная система при сужении . В этом случае мы можем производить сужение не сразу, а в два этапа, вставляя между данными группами еще одну подгруппу, изоморфную

Для того чтобы получить соответствие с нашей задачей, мы рассматриваем неприводимое представление группы с сигнатурой где целые числа. Вместо рассматриваем подгруппу, изоморфную Применяя результаты, полученные в § 66, находим следующий спектр сужения:

где индекс означает сужение на указанную подгруппу и целые числа, входящие в определение характера группы При этом мы имеем

согласно замечанию, сделанному в конце § 66. Теперь для перехода к нашему случаю достаточно положить после чего характер переходит В результате получаем набор сигнатур, указанный в условиях теоремы. Теорема доказана.

Пользуясь полученным результатом, можно выписать в пространстве естественный базис, аналогичный базису Гельфанда — Цейтлина. Этот базис состоит из векторов где

и где целочисленные параметры подчиняются следующим ограничениям: причем для общности записи положено и символ заменяется нулем. Интерпретация этих векторов как старших векторов цепочки вложенных подгрупп очевидна.

Замечание 1. Как видно из теоремы 4, спектр сужения не простой, т. е. возможны кратности, большие единицы. То же верно при замене на

Замечание 2. Положение не улучшится, если вместо рассматривать подгруппу, изоморфную В этом случае к индикаторной

системе добавится еще одно уравнение:

Такая же система уравнений встречается при рассмотрении тензорного произведения где бивектор и произвольная сигнатура группы Нетрудно видеть, что и в этом случае встречаются кратные точки спектра.

В этом случае, в отличие от мы уже не можем разделить векторы базиса с помощью собственных значений операторов Казимира вложенных подгрупп.