§ 125. Полиномы на картановской подалгебре, инвариантные относительно группы Вейля

При изучении характеров нам пришлось иметь дело с вопросами симметрии относительно группы Вейля. В этом параграфе будут рассмотрены близкие

вопросы, которые в свою очередь будут использованы в дальнейшем изложении. Мы рассмотрим полиномы на картановской подалгебре Я, инвариантные относительно группы Вейля, которым в дальнейшем будут поставлены в соответствие операторы Казимира алгебры

Сделаем вначале одно небольшое замечание относительно алгебры рассмотренной в § 123 и состоящей из функций произвольный вес. Как мы видели при построении характеров, всякий кососимметрический элемент этой алгебры является линейной комбинацией элементарных функций где X — старший вес представления Соответственно всякий симметрический элемент этой алгебры является линейной комбинацией примитивных характеров Действительно, умножая данный элемент на кососимметрическую функцию мы разлагаем полученную функцию по что равносильно разложению исходной функции по

В действительности все эти утверждения могут быть сформулированы без привлечения алгебры поскольку речь идет о функциях каждая из которых отлична от нуля лишь в конечном числе целочисленных точек В частности, мы видим, что всякая симметрическая функция является линейной комбинацией конечного числа весовых диаграмм отвечающих старшим весам

Докажем теперь следующую теорему, принадлежащую К. Шевалле:

Теорема 6. Всякий полином на картановской подалгебре Я, инвариантный относительно группы Вейля, может быть продолжен до полинома на всей алгебре X, инвариантного относительно присоединенного представления.

Доказательство. Пусть -множество всех доминантных целочисленных векторов Очевидно, линейные комбинации элементов вида

содержат все одночлены относительно фиксированного базиса и потому совпадают с алгеброй всех полиномов над . Применяя к таким элементам оператор усреднения по группе Вейля, получаем элементы вида

линейные комбинации которых порождают всю алгебру полиномов, инвариантных относительно группы Вейля. При этом, очевидно, каждая функция симметрична по индексу Используя замечание, сделанное в начале этого параграфа, мы разлагаем функцию по весовым диаграммам со старшими весами Соответственно полином разлагается в линейную комбинацию полиномов

Но каждый из этих полиномов допускает продолжение (с заменой на до полиномов на алгебре X, инвариантных относительно присоединенного представления в Теорема доказана.

С другой стороны, если инвариантен относительно присоединенного представления, то инвариантен также относительно внутренних автоморфизмов, отвечающих группе Вейля (см. § 105). Следовательно, сужение на подалгебру инвариантно относительно группы Вейля в . В результате получаем

Следствие. Существует взаимно однозначное соответствие относительно сужения между алгеброй всех полиномов над X, инвариантных относительно присоединенного представления, и алгеброй всех полиномов над , инвариантных относительно группы Вейля.

Согласно другой теореме Шевалле, приведенной нами без доказательства в § 107, алгебра всех полиномов над , инвариантных относительно группы Вейля, имеет ровно независимых образующих. Все образующие могут быть выбраны однородными. При этом, как показано К. Шевалле [145], если

степени однородности образующих, то где число элементов в группе Вейля. Иначе говоря, произведение степеней всех образующих равно порядку группы Вейля.

Пример 1. Алгебра Картановская подалгебра имеет размерность однако удобно вкладывать ее в -мерное пространство (пространство основного линейного представления При этом элементы из Н задаются наборами координат таких, что Группа Вейля состоит из всевозможных перестановок координат и имеет порядок Образующими алгебры являются элементарные симметрические функции

Степень такой образующей равняется и произведение всех степеней есть Вместо элементарных симметрических функций можно рассматривать также суммы Ньютона

Алгебра состоит в этом случае от всех симметрических полиномов от переменных

Пример 2. Алгебра Картановская подалгебра имеет размерность Если воспользоваться классическим базисом, который доставляется -мерным представлением алгебры то группа Вейля порождается всевозможными перестановками координат и зеркальными отражениями Порядок группы Вейля есть Образующие в алгебре таковы:

Степень такой образующей есть и произведение всех степеней равно

Пример 3. Алгебра Результаты те же, что и в примере 2. Заметим, что условием доминантности

вектора в указанном базисе является

Пример 4. Алгебра Исходя из -мерного представления алгебры вводим базис, относительно которого группа Вейля порождается перестановками координат и преобразованиями вида при В этом случае каждое преобразование из группы Вейля допускает лишь четное число перемен знака. Порядок группы Вейля есть Образующие в алгебре таковы:

Заметим, что в выбранном базисе условием доминантности вектора является Во всех примерах 1—4 формула Киллинга—Картана (суженная на диагонализуется в выбранном базисе.

Пример 5. Алгебра Порядок группы Вейля в этом случае равен 12 ([19]), стр. 258). Поскольку среди образующих всегда имеется одна квадратичная (квадрат Картана-Киллинга), то в данном случае степени образующих равны 2 и 6.

Относительно остальных особых алгебр Картана см., например, [57]. См. также конец § 127.