ЧАСТЬ III. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
В этом разделе, состоящем из шести глав, излагается общая теория компактных групп Ли, которая основана на детальном изучении их алгебр Ли (компактных алгебр Ли). Мы изложим картановскую теорию классификации всех компактных алгебр Ли и их комплексных оболочек (редуктивных комплексных алгебр Ли). Отсюда в свою очередь в гл. XV будет получена классификация всех компактных групп Ли и классификация их комплексных оболочек.
Читатель-физик может при желании опустить гл. XV, где собраны наиболее специальные математические построения, касающиеся компактных групп Ли «в целом». Однако следует иметь в виду, что результаты этой главы используются в гл. XVI при глобальной классификации всех неприводимых представлений.
Картановская теория устанавливает замечательное соответствие между классами компактных групп Ли и комплексных редуктивных групп Ли. Это соответствие, осуществляемое путем аналитического продолжения, переносится также на неприводимые представления в конечномерных векторных пространствах. Кроме того, аналитическое продолжение позволяет классифицировать полупростые вещественные алгебры и группы Ли, а также их неприводимые конечномерные представления. Отсюда в свою очередь может быть получена классификация неприводимых конечномерных представлений произвольной связной группы Ли (гл. XVI).
В гл. XVII мы приводим чисто алгебраическое построение теории неприводимых (не обязательно конечномерных) представлений полупростой комплексной алгебры Ли. В гл. XVIII решаются некоторые задачи спектрального анализа конечномерных представлений.
