§ 85. Нильпотентные алгебры Ли

В этом параграфе мы намерены исследовать различные определения нильпотентной алгебры Ли. Предварительно докажем следующую классическую теорему.

Теорема Энгеля. Пусть X — линейная алгебра Ли, для каждого элемента которой выполняется условие нульстепенности Тогда все матрицы приводятся в некотором базисе к треугольной форме с нулями на главной диагонали.

Доказательство. Если то теорема Энгеля верна. Мы будем вести доказательство индукцией по т. е. по числу линейно независимых элементов в алгебре Допустим, что теорема Энгеля уже доказана для всякой линейной алгебры такой, что и покажем, что в этом случае имеет место

Лемма. Всякая собственная подалгебра может быть расширена до подалгебры такой, что — идеал в

Доказательство леммы. Заметим вначале, что для линейной алгебры X оператор может быть записан в виде Рассуждая индуктивно, получаем отсюда следующую формулу:

где биномиальные коэффициенты. Если то либо либо откуда Следовательно, алгебра 35 операторов также удовлетворяет условиям теоремы Энгеля.

Пусть тогда откуда следует, что при всяком разложении дополнительное подпространство) оператор может быть записан в блочном виде:

где преобразование в преобразование в Из нульстепенности следует также нульстепенность

Заметим теперь, что размерность алгебры не превосходит размерности алгебры У. Используя допущение индукции, мы можем считать, что теорема Энгеля верна для алгебры В частности, существует вектор такой, что Иначе говоря, для всех Положим Тогда имеем

Следовательно, подалгебра в идеал в подалгебре Z. Лемма доказана.

Если произвольный элемент подалгебры X, то пространство является одномерной подалгеброй в Расширяя эту подалгебру до двумерной подалгебры затем расширяя до трехмерной подалгебры получаем в X цепочку вложенных подалгебр

таких, что Лявляется идеалом в Следовательно, алгебра X разрешима. Применяя теорему Ли, заключаем, что все операторы одновременно приводятся к треугольному виду. Нульстепенность х означает, что все его собственные значения равны нулю. Теорема доказана.

В нижеследующих утверждениях мы предполагаем, что алгебра X удовлетворяет условиям теоремы Энгеля. Тогда из этой теоремы получаем

Следствие 1. Алгебра X содержит нетривиальный центр.

Действительно, пусть 2 — такой элемент из X, который является собственным вектором с собственным значением относительно всех операторов Тогда содержится в центре алгебры

Следствие 2. Существует натуральное число для которого где произвольные элементы из

Этот результат непосредственно следует из треугольной структуры операторов (с нулями на

диагонали). Указанное равенство, во всяком случае, верно, если размерность линейного пространства, в котором действует

Исходя из полученных результатов, мы естественно приходим к следующим двум определениям.

Определение 5. Алгебра X называется нильпотентной, если для всякого (при некотором натуральном которое можно считать не зависящим от

Определение Алгебра X называется нильпотентной, если для всякого набора элементов (при некотором натуральном которое можно считать не зависящим от

Заметим, что последнее условие можно также записывать в виде Применяя следствие 2 к линейной алгебре операторов заключаем, что условия определения могут быть получены как следствие из условий определения 5. С другой стороны, условия определения 5 представляют собой частный случай условий определения Следовательно, оба эти определения равносильны.

Далее, согласно теореме Энгеля условия определения 5 (§ 83) могут быть получены как следствие из условий определения 5. В то же время обратное утверждение очевидно. В результате получаем, что все определения эквивалентны.

Определение нильпотентности может быть сформулировано также следующим образом. Пусть X — произвольная алгебра Ли. Положим

Тогда при любом значении является идеалом не только в но и во всей алгебре Цепочка идеалов называется центральным рядом в алгебре Определение формулируется теперь следующим образом:

Алгебра X называется нильпотентной, если ее центральный ряд сходится к нулю, т. е. при некотором

В заключение отметим связь между центральным рядом алгебры X и рядом последовательных производные

алгебры Пусть центральный ряд алгебры Тогда имеем

Рассуждая индуктивно, заключаем, что Если, в частности, алгебра нильпотентна, то при некотором т. е. алгебра X разрешима. Обратно, если X разрешима, то все неприводимые компоненты коммутативны (§ 83) и потому обращаются в нуль для Следовательно, если то нульстепенный оператор. Следовательно, алгебра X нильпотентна. В результате получаем следующий важный результат:

Алгебра X разрешима тогда и только тогда, когда ее производная подалгебра X нильпотентна.

Упражнения

(см. скан)