ДОБАВЛЕНИЕ I. О БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЯХ ПОЛУПРОСТОЙ КОМПЛЕКСНОЙ ГРУППЫ ЛИ

В 1943 г. И. М. Гельфанд и Д. А. Райков [70] показали, что всякая локально компактная группа (с мерой Хаара) обладает достаточно «богатым» запасом неприводимых унитарных представлений в гильбертовых пространствах. Если группа G некомпактна, то эти представления, как правило, бесконечномерны. С работы [70]. по существу, берет свое начало теория бесконечномерных представлений группы G. С 50-х годов развивается также теория неунитарных представлений. В этом добавлении приводится краткий обзор такой теории для случая полупростой комплексной связной группы Ли. Рассматриваются также некоторые вопросы гармонического анализа функций на G.

§ 1. Элементарные представления

Пусть полупростая связная комплексная группа Ли и А — ее алгебра Ли. Под дифференцируемостью функции на группе G мы будем понимать применимость инфинитезимальных операторов левого и правого сдвига на G. Пусть пространство всех бесконечно дифференцируемых функций на G. Операторы правого сдвига

образуют представление группы G в пространстве Разумеется, это представление приводимо. В частности, как мы видели в нашей книге, всякое неприводимое конечномерное представление группы G содержится в инвариантном подпространстве пространства Попробуем, по аналогии с этой конструкцией, использовать представление для построения всех неприводимых представлений группы G.

Пусть компоненты разложения Гаусса в группе G. Максимальная разрешимая подгруппа называется также иногда борелевской подгруппой в группе G. Пусть

а — произвольный характер (одномерное представление) группы совокупность всех функций из удовлетворяющих уравнению

В пространстве мы будем рассматривать топологию равномерной сходимости функций и их производных на каждом компакте в G. Тогда замкнутое подпространство в Очевидно, инвариантно относительно

Определение. Сужение на называется элементарным представлением группы G с сигнатурой а.

Введем обозначение для элементарного представления группы G с сигнатурой а. Выясним, какими параметрами задается это представление. Прежде всего, (поскольку производная подгруппа в группе В); следовательно, для вычисления достаточно вычислить Далее, а при где максимальный тор и односвязная подгруппа (изоморфная векторному пространству). Если ранг группы то Характер задается целыми числами, характер произвольными комплексными числами. Следовательно, всякое элементарное представление группы G задается набором чисел, из которых являются целыми и комплексными.

Рассмотрим подробнее тот случай, когда группа G является односвязной. Пусть мультипликативные координаты в группе (§ 112). Тогда характер можно также записывать в виде

где произвольные комплексные числа, разность которых целочисленна. Нетрудно видеть, что это условие необходимо и достаточно для однозначности функции на группе Напомним, что где координаты в картановской алгебре относительно базиса Следовательно, также

где положено (сумма по дуальный базис для и черта означает комплексное сопряжение координат Следовательно, характер задается иарой векторов разность которых целочисленна в базисе

Нам будет удобно несколько изменить введенные параметры. Положим где полусумма положительных корней в алгебре Это равносильно подстановке для всех Пару векторов

разность которых целочисленна, мы будем называть сигнатурой. Таким образом,

Как и в основном тексте (в случае конечномерных представлений), мы можем использовать разложения Гаусса и Ивасавы для получения иных моделей представления В частности, пусть максимальная компактная подгруппа в группе порожденная компактной формой Вейля Пусть пространство всех бесконечно дифференцируемых функций на Условие

выделяет замкнутое подпространство в пространстве Поскольку характер зависит только от целочисленной разности мы обозначим это подпространство символом Вектор мы будем называть индексом сигнатуры а. Представление может быть реализовано в пространстве с помощью известной формулы:

где элементы определяются из разложения Ивасавы Заметим, что характер зависит только от суммы Вектор мы будем называть показателем сигнатуры а. Вектор является произвольным вектором из

В несколько ином варианте определения элементарные представления были впервые введены в работе И. М. Гельфанда и М. А. Наймарка [68]. Наше определение следует статье [88].