§ 84. Разрешимые алгебры Ли

Пусть X — алгебра Ли. Введем обозначение X для множества составленного из коммутаторов и их всевозможных линейных комбинаций. Нетрудно видеть, что X является подалгеброй и даже идеалом в алгебре Алгебра X называется производной подалгеброй алгебры По индукции вводятся также определения:

В этом параграфе мы примем за основу следующие два определения:

Определение 4. Алгебра X называется разрешимой, если цепочка ее последовательных производных обрывается после конечного числа шагов, т. е. если при некотором

Определение 4". Алгебра X называется разрешимой, если в ней существует цепочка вложенных подалгебр

таких, что является идеалом в и фактор-алгебра коммутативна.

Докажем, что эти определения эквивалентны. Действительно, как следует из определения производной

подалгебры X, фактор-алгебра коммутативна. Следовательно, цепочка

удовлетворяет условиям определения если С другой стороны, если выполняются условия определения то откуда при некотором

Заметим также, что в силу условия коммутативности цепочку подалгебр в определении можно при желании считать максимальной, т. е. такой, что Предлагается самостоятельно доказать следующие утверждения:

1. Всякая подалгебра разрешимой алгебры Ли разрешима.

2. Всякая фактор-алгебра разрешимой алгебры Ли разрешима.

3. Если идеал и фактор-алгебра разрешимы, то алгебра X также разрешима.

Принимая указанные в этом параграфе определения разрешимости, мы докажем теперь следующую фундаментальную теорему, принадлежащую Софусу Ли.

Теорема Ли. Пусть X — разрешимая алгебра Ли. Тогда всякое неприводимое представление алгебры X коммутативно.

Доказательство. Условимся вначале рассматривать представления только в комплексных пространствах. Если то алгебра X коммутативна, и утверждение теоремы вытекает из леммы Шура, причем в данном случае пространство представления одномерно. В общем случае согласно определению разрешимости мы имеем

где разрешимый идеал в алгебре одномерное направление, натянутое на элемент Пусть -неприводимое представление алгебры X в пространстве подпространство, неприводимое относительно подалгебры Поскольку то можем считать по допущению индукции, что для

алгебры теорема уже доказана; но тогда и мы имеем

для всякого и всякого (Здесь — линейная форма над алгеброй Далее, рассмотрим оператор и положим Пусть линейная оболочка этих векторов; тогда подпространство инвариантно относительно Покажем, что инвариантно также относительно Действительно, имеем

где положено Если то в правой части мы можем заменить числовыми множителями В общем случае индукцией по получаем следующее равенство:

где многоточие означает линейную комбинацию векторов Инвариантность доказана. Но тогда мы имеем ввиду неприводимости Если максимальный из номеров, для которых векторы линейно независимы, то векторы образуют базис в пространстве Относительно этого базиса матрица является треугольной с одинаковыми диагональными элементами Следовательно,

где Если то (след коммутатора равен нулю). Следовательно, в этом случае к . В частности, если и то Возвращаясь к формуле мы можем уточнить получаемый результат:

Но это означает, что оператор является скалярным оператором на Если собственный

вектор оператора то направление инвариантно относительно всей алгебры Следовательно, и V одномерно.

Итак, для комплексного случая теорема доказана. В вещественном случае полагаем и продолжаем на V по правилу Согласно доказанному выше всякое неприводимое подпространство в V одномерно. Если вектор определяет такое одномерное направление, то линейная оболочка векторов в пространстве V инвариантна относительно Следовательно, и представление в пространстве V коммутативно. Теорема доказана.

Как уже отмечалось при доказательстве теоремы, привлечение леммы Шура позволяет получить дополнительные ограничения: в комплексном случае, в вещественном случае. Если ограничиться комплексными пространствами, то теорема Ли допускает одну из следующих трех эквивалентных формулировок:

1° Всякое неприводимое представление алгебры X одномерно.

2° В пространстве любого представления алгебры X существует хотя бы один вектор, собственный относительно всей алгебры

3° Всякое представление алгебры X приводится в некотором базисе к треугольной форме.

Подчеркнем, что речь идет о конечномерных представлениях. Для доказательства эквивалентности заметим, что среди логических следствий 1° требует проверки только Но выполнение 2° означает приводимость к блочному виду:

где собственное значение и -представление алгебры X в пространстве меньшей размерности. Применяя индукцию по размерности, получаем 3°.

Для произвольного поля (вещественного или комплексного) получаем из теоремы Ли

Следствие 1. Если неприводимое представление разрешимой алгебры X, то тривиально на производной подалгебре при

С другой стороны, применяя теорему Ли к присоединенному представлению алгебры X, получаем дополнительную информацию о структуре этого представления:

Следствие 2. Алгебра X разрешима тогда и только тогда, когда существует цепочка вложенных идеалов

где идеал во всей алгебре X и фактор-алгебра коммутативна для всех

Действительно, если X — комплексная алгебра, то указанная цепочка возникает при приведении к треугольному виду, причем . В вещественном случае доказательство предоставляется читателю.

Наличие цепочки идеалов, указанной в следствии равносильно определению 4, данному в § 83. Таким образом, условия этого определения являются формально более сильными, чем условия определения Однако мы видим, что в действительности эти условия эквивалентны.

В результате получаем, что определения взаимно эквивалентны. В комплексном случае определение разрешимости может быть также сформулировано следующим образом. Алгебра X называется разрешимой, если в ней существует максимальная цепочка вложенных идеалов с возрастанием размерностей на единицу.