§ 52. Диаграммы Юнга

Для более глубокого изучения симметрии в классе тензоров мы займемся вначале более подробным изучением симметрической группы Нам будет удобно рассматривать эту группу как группу преобразований в классе чисел Каждый элемент определяется при этом системой чисел которые принимают те же значения в другом порядке. Обычно в этом случае используется запись

причем порядок размещения каждой пары считается несущественным. Закон композиции в группе определяется по правилу Обратное преобразование мы также будем обозначать символом Поскольку обратное преобразование сводится к инверсии пары то мы имеем

Ясно, что операция удовлетворяет тождеству Допустим теперь, что

рядоченная схема, заполненная «предметами» , (природа этих предметов несущественна). Мы определяем действие подстановки на схему У по правилу

Иначе говоря, в схеме на месте с номером располагается предмет, который в схеме У был расположен на месте с номером При этом, как нетрудно видеть, выполняется следующий закон композиции:

Существенно заметить, что действие подстановки определяется не номерами предметов, а номерами тех мест, на которых они расположены. Вслед за Вейлем мы можем повторить, что «весь этот на вид чрезмерный педантизм оказывает серьезную помощь в уяснении порядка, в котором выполняется композиция подстановок».

Рассмотрим теперь произвольное разбиение числа в сумму невозрастающих натуральных слагаемых: Всякому такому набору чисел сопоставим индекс а, называемый сигнатурой. Дополняя эти числа нулями, можем считать, не ограничивая общности, что . В классе сигнатур мы будем использовать обычное определение лексикографической упорядоченности. Рассмотрим клеточную таблицу

Эта таблица содержит клеток в первой строке, клеток во второй и т. д. Если положим то означает число столбцов длины На чертеже указана фиксированная нумерация полей, которую условимся называть стандартной. Всякая таблица такого типа называется диаграммой Юнга. Если эта таблица заполняется предметами причем предмет располагается на месте с номером то такое заполнение будем называть стандартным и обозначать тем же символом Символом будет обозначаться схема, получаемая из по указанному выше правилу подстановок.

С каждой сигнатурой а мы свяжем следующие подгруппы в группе Подгруппа состоит из всех «горизонтальных движений» в схеме (движение внутри строк). Подгруппа состоит из всех «вертикальных движений» (движения внутри столбцов). Положим также

Элементы этого множества (которое, вообще говоря, не является группой) условимся называть элементарными подстановками. Если то условимся говорить, что элементарно выражается через а. В заключение этого параграфа докажем простую комбинаторную лемму, которая будет играть принципиальную роль во всех дальнейших построениях:

Лемма 2. Если то при любых подстановках о существует пара предметов, расположенных в одной и той же строке диаграммы и в одном и том же столбце диаграммы То же верно, если но не выражается элементарно через .

Доказательство. Положим Условие означает, что число столбцов диаграммы У не превосходит числа предметов, расположенных в первой строке диаграммы У. Следовательно, если все такие предметы попадают в различные столбцы диаграммы У, то обязательно Отбрасывая эти элементы, получаем то же заключение для всех остальных строк. Следовательно, если все предметы, находившиеся в одной строке диаграммы У, попадают в

разные столбцы диаграммы , то Производя в диаграмме вертикальное движение мы можем поставить каждый предмет в ту строку, где он был расположен в диаграмме Производя затем горизонтальное движение мы отождествляем Но это означает, что где Лемма доказана.

Очевидно, лемма 2 является качественным выражением того обстоятельства, что с понижением сигнатуры «повышается роль столбцов». Отсюда вытекает также

Следствие. Если то для любых подстановок о существуют горизонтальная транспозиция и вертикальная транспозиция для которых

То же верно, если но не выражается элементарно через а. В частности, если не элементарно, то существуют транспозиции для которых

Действительно, пусть номера предметов, указанных в лемме 2; тогда эти предметы расположены на местах в таблице и на местах в таблице В качестве мы выбираем транспозиции этих пар. При этом равенства означают, что есть транспозиция пары