§ 27. Свойство ортогональности

Пусть два неприводимых представления группы матрицы которых

записаны по отношению к тем базисам, в которых они унитарны. Рассматривая тензорное произведение

где представление, контрагредиентное напомним следствие 2 из леммы Шура, согласно которому, если неэквивалентны, то представление не содержит ненулевых инвариантов. Следовательно, в этом случае

Подставляя выражения отдельных матричных элементов представления через матричные элементы представлений заметим, что где черта означает комплексное сопряжение каждого элемента матрицы В результате матричное равенство заменяется системой числовых равенств

которые в совокупности означают ортогональность между матричными элементами

Положим теперь и реализуем представление в классе прямоугольных матриц (§ 20):

Поскольку в классе этих матриц имеются лишь инварианты где — произвольное число, то усредненная матрица должна совпадать с одним из таких инвариантов:

для любого Для определения произведем вычисление следа левой и правой части, учитывая, что

в результате находим

где размерность матрицы Следовательно, и мы получаем окончательно

Полагая, в частности, где матрица содержит единицу на пересечении строки с столбцом и нули на остальных местах, находим, что матрица состоит из элементов

Следовательно,

где символы Кронекера (действительно, ). В результате мы видим, что имеет место

Лемма 4. Матричные элементы двух неприводимых неэквивалентных представлений группы G взаимно ортогональны. Матричные элементы каждого неприводимого представления группы G ортогональны между собой и все имеют одинаковую норму, равную где размерность данного представления.