ГЛАВА X. ИНДИКАТОРНЫЕ СИСТЕМЫ И БАЗИС ГЕЛЬФАНДА-ЦЕЙТЛИНА

В предыдущей главе мы слегка отклонились в сторону от задачи изучения неприводимых представлений вернемся теперь к этому вопросу. Среди известных нам моделей мы отдаем предпочтение реализации на группе Z, которая включает минимальное число независимых параметров; однако эта реализация страдает пока существенным недостатком, поскольку для пространства представления мы имеем лишь малоэффективную характеристику (циклическая оболочка старшего вектора). Желательно было бы и в этом случае построить аналог симметризаторов Юнга.

Решение этой задачи дается в § 65. В дальнейших параграфах полученная информация используется для изучения «внутренней структуры» и построения базиса в пространстве представления При этом мы выписываем явную формулу для инфинитезимальных операторов в найденном базисе. Дается также общая формула для матричных элементов

§ 64. Операторы левого сдвига на группе Z

Нам будет удобно начать с реализации на группе G. Напомним, что при выборе этой реализации мы осуществили специальное вложение в правое регулярное представление группы при этом векторы в пространстве представления оказываются функциями на группе в частности, роль старшего вектора играет функция

которую мы будем называть производящей функцией представления Если к этой функции применять только правые сдвиги, то мы получим (после взятия линейных комбинаций) все векторы пространства представления. Если применять всевозможные левые и правые сдвиги, то мы таким же путем получаем все матричные элементы представления

Из перестановочности левых сдвигов с правыми естественно ожидать, что при помощи операторов левого сдвига можно получить описание пространства представления В частности, соотношения

справедливые для справедливы также и для всех ее правых сдвигов, а отсюда и для всех из пространства представления Нам будет удобно записывать эти тождества в инфинитезимальной форме. Прежде всего имеем

где произвольный инфинитезимальный оператор группы порожденный левыми сдвигами на группе G. Очевидно, достаточно в этом равенстве рассматривать операторы отвечающие базисным элементам Полагая для краткости мы имеем также равенство

где координаты сигнатуры Однако условия и 2°, очевидно, не дают еще полной характеристики пространства представления, поскольку пространство всех совместных решений 1° и 2° бесконечномерно.

Если X — алгебра Ли группы то мы имеем для нее стандартное разложение

где соответственно натянуты на базисные векторы Как легко проверить,

элементы

являются образующими в алгебре Действительно, всякий базисный вектор из может быть представлен в виде кратного коммутатора от Точно так же элементы

являются образующими в алгебре Очевидно, условие 1° равносильно системе условий

где инфинитезимальный оператор, отвечающий элементу Выясним теперь, как действуют на функцию образующие алгебры

Пусть инфинитезимальный оператор левого сдвига на группе отвечающий базисному вектору Вычисляя этот оператор по известному правилу, находим

где в последней сокращенной записи имеется в виду скалярное произведение векторов Нестрого говоря, есть оператор подстановки строки на место строки. В частности,

где инфинитезимальный оператор, отвечающий элементу Применяя этот оператор к минору

получаем следующий результат:

Иначе говоря, миноры при являются константами по отношению к дифференцированию и минор ведет себя как линейная функция по отношению к этому дифференцированию. Отсюда непосредственно следует тождество

которое справедливо для а потому и для всякой функции из пространства представления Остальные операторы отвечающие алгебре мы пока рассматривать не будем. Введем обозначение для пространства всех решений системы

Переход к реализации на группе Z сводится к автоматическому учету условий 1° и 2°. Вместо функции мы рассматриваем теперь функцию «двух переменных»

где Оператор представления задается формулой

и пространство представления определяется как линейная оболочка всевозможных функций Существенно, что левые сдвиги на Z не перестановочны со всеми преобразованиями однако мы по-прежнему рассмотрим операторы

и заметим, что функция удовлетворяет системе дифференциальных уравнений

Это вытекает непосредственно из формулы 3° для функции Следовательно,

где пространство всех решений системы . Естественно исследовать связь между этими пространствами. В частности, если то как мы знаем, натянуто на векторы т. е. совпадает с . В общем случае пока докажем, что имеет место Лемма 1. Пространство инвариантно относительно операторов

Доказательство. Нетрудно видеть, что любая матрица допускает однозначное представление в виде

где и матрица выделяется дополнительным условием Если рассматривать как параметры в группе Z, то имеем

Следовательно, если совокупность всех решений уравнения с фиксированным индексом то состоит из всевозможных функций от которые являются полиномами от степени не выше

Выразим теперь оператор в параметрах Используя транспонирование, запишем каждую матрицу в виде где Если матрица допускает разложение Гаусса, то матрица при подходящем выборе сомножителей очевидно, приводится к виду

где преобразует базисные векторы с номерами Заменяя в этом рассуждении матрицу произведением получаем разложение

где Рассматривая теперь произвольную матрицу замечаем, что где по-прежнему Следовательно,

Поскольку функция не меняется при левых сдвигах на и правых сдвигах на мы находим отсюда

где коэффициенты выражаются только через Действительно, если диагональные миноры матриц то при где коэффициенты матрицы Наконец, мы имеем

Действительно, разложение Гаусса элемента приводит к дробно-линейной подстановке для параметра

Из полученной формулы очевидно, что пространство инвариантно относительно Но тогда это верно и для пространства которое является пересечением пространств Лемма доказана.

Операторы мы условимся называть главными сдвигами на группе Z, а систему — индикаторной системой для сигнатуры а.