§ 122. Формула Фрейденталя

Начиная с этого параграфа, мы будем рассматривать только конечномерные представления. Займемся исследованием весовой диаграммы неприводимого представления В этом параграфе будет установлена рекуррентная формула для кратностей весов в представлении принадлежащая Фрейденталю.

Теорема 4. Пусть пп — кратность веса в неприводимом представлении со старшим весом Тогда

Здесь каждый вес рассматривается как элемент из и скобка означает билинейную форму Киллинга — Картана. Множитель отличен от нуля для каждого веса и вычисляется по формуле

где и означает полусумму всех положительных корней в алгебре

Доказательство этой теоремы основано на рассмотрении в квадратичного оператора Казимира

Здесь положено и базисные векторы выбраны с таким расчетом, чтобы ковариантные числовые переменные образовывали квадратичный инвариант относительно присоединенного представления. Для этого, как обычно, достаточно положить

и выбрать векторы таким образом, чтобы они образовывали базис, дуальный к т. е. где символ Кронекера. Тогда, как нетрудно видеть, оператор А перестановочен со всеми операторами представления Заметим, далее, что

где собственное значение у зависит от старшего веса . Поскольку А перестановочен со всеми понижающими операторами то для всякого вектора где V — пространство представления Следовательно, А является скаляром на . С другой стороны, положим

где означает весовое подпространство размерности отвечающее весу Очевидно, V инвариантно относительно Вычисляя на этом подпространстве след оператора А, находим

Займемся вычислением отдельных слагаемых, входящих в правую часть.

1° Разлагая вес по базису и дуальному базису находим откуда Следовательно, первая сумма в нашей формуле может быть заменена скалярным квадратом

2° Фиксируем корень а и найдем выражение где след берется только по весовому подпространству Рассмотрим вначале тот случай, когда число

является неотрицательным. Тогда является одним из возможных старших весов для трехчленной подалгебры операторов

где положено Кроме того, если то разлагается по базисным векторам с весами содержащимся в неприводимых подпространствах относительно со старшими весами Следовательно,

где означает кратность вхождения старшего веса I в подпространство 2 Отсюда также следует, что

Теперь мы воспользуемся явными формулами для неприводимых представлений трехчленной подалгебры найденными в § 37. Согласно этим формулам, если является базисным вектором веса в неприводимом подпространстве со старшим весом то мы имеем

Полагая в этой формуле и умножая каждое собственное значение на получаем вклад неприводимого подпространства со старшим весом I в сумму результате

Вторая сумма не изменится, если распространить суммирование также на Приводя подобные члены, получаем

Если умножить теперь обе части полученного равенства на то мы найдем искомую формулу для Напомним, что откуда . В результате

3° Рассмотрим теперь тот случай, когда Пусть отражение из группы Вейля по направлению корня Положим

и заметим, что всякий вектор имеет вес относительно оператора Все предыдущие построения остаются в силе, если заменить на и вес на вес . В результате получаем следующую формулу:

где след по-прежнему берется только по весовому подпространству Заметим, что та, где Следовательно, эта формула может

быть также записана в виде

Покажем, что суммирование можно распространить на значения от до Действительно, если то сумма векторов ортогональна корню а и эти векторы сопряжены друг другу относительно рефлексии Поскольку в этом случае (весовая диаграмма инвариантна относительно группы Вейля), то мы имеем также

Отсюда, очевидно, следует, что сумма слагаемых по от до обращается в нуль. Следовательно, формула сохраняет силу для любого веса и любого корня

Суммируя результаты 1°, 2°, 3°, получаем следующее тождество:

Преобразуем полученную формулу. Прежде всего, заметим, что слагаемые взаимно уничтожаются, так что суммирование в можно вести по от 1 до Далее, из приведенных выше рассуждений относительно рефлексии следует, что сумма слагаемых по от до всегда обращается в нуль. Следовательно,

Используя это тождество, мы можем исключить в формуле все слагаемые с В результате имеем

Если использовать обозначение то эта формула переписывается в виде

Наконец, для нахождения множителя у достаточно в качестве взять старший вес . Тогда при и мы находим, что Подставляя это выражение снова в общую формулу, получаем окончательно

Осталось показать, что коэффициент при отличен от нуля. Для этого установим следующие два предложения, имеющие также самостоятельную ценность:

4° Пусть полусумма положительных корней. Тогда все числовые отметки вектора равны единице

Если элемент из группы Вейля, отличный от единицы, то (относительно лексикографической упорядоченности в

Действительно, пусть отражение относительно простого корня Тогда, как мы видели в § 105, для каждого положительного корня а , корень также положителен. Следовательно,

В то же время согласно общей формуле для рефлексий. Следовательно, Аналогично, если произвольный элемент из группы Вейля, то

где сумма берется по тем для которых Если таких а нет, то преобразование сохраняет доминантную камеру Вейля, откуда Следовательно,

5° Если произвольный вес представления отличный от старшего веса X, то

Действительно, если то и мы имеем

Как мы видели в § 121, . Далее, поскольку вектор является линейной комбинацией простых корней с неотрицательными коэффициентами, не равными тождественно нулю, и то Теорема доказана.

Поскольку все веса в правой части формулы Фрейденталя выше (относительно лексикографической упорядоченности), то эта формула действительно позволяет найти все кратности исходя из кратности