§ 48. Различные модели d(а)

Прежде чем завершить классификацию всех неприводимых представлений группы остановимся на вопросе о различных функциональных реализациях неприводимого представления.

1. Реализация на группе Z. Поскольку все функции из пространства удовлетворяют соотношениям

то они вполне определяются своими значениями на Z. Действительно, зная мы знаем значения на множестве но тогда по непрерывности также и на всей группе G. Заменим на тогда мы имеем

где элементы определяются из разложения Положим Заметим, что совпадает со значением «производящей функции» на элементе В результате получаем следующее преобразование в классе функций

При получаем, как легко проверить, известную нам реализацию с помощью дробно-линейной подстановки. Таким образом, преобразование является обобщением такой подстановки. Полученную нами модель условимся называть реализацией на группе Z.

Мультипликативное свойство операторов представления равносильно следующим тождествам (которые

также легко проверить и непосредственно):

При этом очевидно также, что Кроме того, для любого и для любого Следовательно, мы получаем чрезвычайно простые формулы:

Действительно, Этими формулами мы часто будем пользоваться в дальнейшем. Однако при функция выглядит уже довольно сложно.

Всякий старший вектор должен удовлетворять условию Отсюда и мы еще раз получаем единственность старшего вектора. Кроме того, мы видим, что роль старшего вектора в реализации на группе Z играет функция

2. Реализация на группе Вместо предыдущих построений мы могли бы использовать разложение и заметить, что всякая функция вполне определяется своими значениями на В результате получаем оператор

где точка определяется из разложения Гаусса При этом функции из пространства представления удовлетворяют условию Роль старшего вектора играет функция Это представление мы называем реализацией на группе

3. Реализация на группе Вместо разложения Гаусса мы могли бы воспользоваться разложением Грама: (§ 9). Из этого разложения очевидно, что всякая функция вполне определяется своими значениями на унитарной подгруппе Формула представления принимает следующий вид:

Здесь матрицы определяются из разложения Грама Функции из пространства представления удовлетворяют соотношению где у пробегает «диагональную» подгруппу состоящую из всех диагональных матриц Роль старшего вектора играет функция Заметим также, что

т. е. действие элементов сводится к правому сдвигу на

До сих пор мы рассматривали произвольные вещественные представления группы G. Если ограничиться аналитическими представлениями, то они остаются неприводимыми при сужении на унитарную подгруппу В результате получаем описание всех таких представлений.

Теорема 3. Всякое неприводимое представление группы определяется однозначно, с точностью до эквивалентности, некоторым характером диагональной подгруппы Это представление может быть реализовано с помощью правых сдвигов

в конечномерном пространстве состоящем из функций на группе Пусть аналитическое продолжение на группу соответствующая функция на группе G. Полагая мы можем охарактеризовать пространство как циклическую оболочку функции То же верно для группы

Напомним, что матрица входящая в разложение Грама, является диагональной положительно определенной матрицей. Отсюда следует, в частности, что Извлекая квадратный корень, заключаем, что множитель может быть записан следующим образом:

где положено Практически реализация на группе является довольно сложной ввиду отсутствия простой параметризации для группы В то же время

многообразие Z изоморфно евклидову пространству и легко параметризуется. Поэтому неприводимое представление группы обычно бывает удобно рассматривать также в реализации на группе Z.

Упражнение

(см. скан)