§ 117. Произвольные связные группы Ли

Если использовать теорему Леви — Мальцева, то результаты предыдущего параграфа могут быть перенесены на произвольную связную группу Ли (комплексную или вещественную). Решающим шагом при этом является следующая

Теорема 10. Пусть вещественная связная группа Ли и ее полупростая (связная) компонента Леви. Тогда любое неприводимое представление группы G остается неприводимым при сужении на

Доказательство. Пусть радикал группы т. е. максимальный связный разрешимый нормальный делитель. Тогда по теореме Ли в пространстве представления группы G существует хотя бы один вектор

собственный относительно подгруппы

Поскольку является нормальным делителем, то всякий вектор вида снова является собственным для

с собственным значением Из непрерывной зависимости от связности группы G и конечности множества собственных значений группы вытекает (как при доказательстве теоремы Ли), что т. е. не зависит от Следовательно,

Ввиду неприводимости инвариантная линейная оболочка векторов совпадает со всем пространством Следовательно, операторы являются скалярами на всем пространстве Следовательно, если положим

то получим одномерное представление всей группы Представление тривиально на радикале следовательно, является неприводимым при сужении на подгруппу 5. Теорема доказана.

Следствие 1. Всякое неприводимое представление группы G может быть записано следующим образом:

где одномерное представление группы неприводимое представление группы тривиальное на радикале

Заметим, что если группа G односвязна, то представление тривиально на полупростой компоненте Действительно, в этом случае и наше утверждение вытекает из конструкции характера данного при доказательстве теоремы 10. В общем случае, если G неодносвязна, то представления могут быть неоднозначны на G (даже если однозначно).

Следствие 2. Для всякой связной группы Ли существует универсальное комплексное евклидово пространство Z (корневая подгруппа, построенная по комплексной оболочке алгебры Ли группы такое, что всякое неприводимое представление группы G реализуется в классе полиномов над Z.

Действительно, это верно для представления которого представление отличается лишь одномерным множителем Заметим, что при этом представление задается стандартной формулой

где функция отличается лишь множителем от соответствующей функции определенной для подгруппы Таким образом, форма индуцированного представления оказывается универсальной.

Следствие 3. Для перечисления всех неприводимых представлений произвольной связной группы G достаточно перечислить все неприводимые (возможно, многозначные) представления ее полупростой компоненты

Последняя задача решена в этой главе. Таким образом, можно считать, что мы описали неприводимые представления произвольной связной группы Ли.

В заключение введем понятие мильтиплета. Мультиплетом мы будем называть всякое неприводимое — возможно, конечнозначное — представление связной группы Ли в комплексном векторном пространстве При этом, если данное представление остается неприводимым при сужении с группы G на подгруппу то условимся говорить, что имеют один и тот же мультиплет. Таким образом, понятие мультиплета относится к целому классу групп, замкнутому относительно аналитического продолжения, вещественного ограничения и факторизации по радикалу.

Поскольку мы рассматриваем также многозначные представления, то фактически речь идет о представлениях алгебры Ли или о представлениях односвязной накрывающей для некоторого класса групп Ли. Поэтому условимся говорить, что мультиплет относится к классу X, если он является неприводимым представлзнием

некоторой алгебры Ли (Согласно нашему определению разные алгебры Ли могут иметь один и тот же мультиплет.)

В данной главе мы подробно изучили мультиплеты типов Было показано, что каждый из этих мультиплетов задается некоторым набором числовых инвариантов, называемым сигнатурой. (В теоретической физике эти числовые инварианты называют иногда квантовыми числами.) Дискретность набора квантовых чисел связана, как мы видим, с «компактной природой» мультиплетов.

Результаты нашего исследования можно в терминах мультиплетов выразить следующим образом. Все конечномерные мультиплеты произвольной связной группы Ли относятся к одному из классов