§ 67. Базис Гельфанда — Цейтлина

Рассмотрим в G цепочку вложенных подгрупп

где изоморфна При этом нам будет удобно считать, что преобразует первые базисных векторов, оставляя остальные неподвижными. Следовательно, состоит из матриц вида

и подобным образом вкладывается в

Как мы видели в § 66, если неприводимое представление группы то спектр сужения на является простым, т. е. каждое неприводимое представление содержится в однократно. Точно так же, если неприводимое представление подгруппы то спектр сужения на является простым. Мы можем использовать это свойство для построения базиса в пространстве

Действительно, сужая последовательно на получаем на каждом шаге все более дробное разбиение в ортогональную прямую сумму подпространств, неприводимых относительно причем подпространства, получаемые на последнем шаге, одномерны (подгруппа абелева). Выбирая в каждом из этих одномерных подпространств по ненулевому вектору, получаем ортогональный базис во всем пространстве Очевидно, каждый из этих векторов однозначно

определяется следующей таблицей целых чисел:

где каждая строка означает сигнатуру того неприводимого представления подгруппы в пространстве которого данный вектор содержится. При этом мы положили для общности записи т. е. заменили обозначение на параметры сигнатуры Согласно теореме произвольные целые числа, удовлетворяющие ограничениям

Следовательно, каждое из этих чисел в таблице изменяется в пределах между двумя вышестоящими числами. Соответствующий базисный вектор обозначим символом

Нетрудно видеть, что базисные векторы являются весовыми относительно подгруппы Действительно, вместо мы могли бы рассматривать подгруппу матриц вида

изоморфную где мультипликативная группа комплексных чисел; при этом преобразования подгруппы перестановочны с каждым т. е. сводятся к умножению на число в пространстве этого представления. Продолжая редукцию по размерности, получаем вместо подгруппу, изоморфную т. е. группу Вычисляя веса, получаем как следствие теоремы 2 следующий результат:

Теорема 3. В пространстве неприводимого представления существует ортогональный базис где означает описанную выше таблицу целых чисел

При этом каждый вектор является весовым с весом

где сумма чисел, расположенных в строке таблицы

Доказательство. Согласно замечанию, сделанному в конце § 66, старшему вектору представления приписывается собственное значение относительно подгруппы следовательно, то же собственное значение имеют и все остальные векторы с фиксированной строкой Аналогичную роль для сигнатуры играет множитель Теорема доказана.

Полученный базис называется базисом Гельфанда — Цейтлина.

Замечание 1. Вектор является старшим вектором относительно подгруппы тогда и только тогда, когда для каждого строка получается из вычеркиванием последнего параметра в этом случае строки вполне характеризуют вектор

В частности, старший вектор вполне характеризуется исходной сигнатурой а.

Замечание 2. Нетрудно выписать явный вид базиса в реализации на группе Z, хотя окончательные выражения получаются достаточно громоздкими. Мы рассмотрим для простоты только случай т. е. группу В этом случае схема имеет вид

параметры, задающие представление, и Напомним, что старшими векторами относительно являются в данном случае векторы

где Применим к этим векторам преобразование

где понижающий оператор группы и заметим, что переводит вес в вес Координата входящая в схему должна совпадать с следовательно, вектор может быть получен (с точностью до множителя) как коэффициент при в разложении по степеням Положим

тогда Согласно общей формуле для мы имеем

где диагональный минор матрицы минор этой матрицы, составленный из первых двух строк и столбцов с номерами 1, 3. В нашем случае где положено Следовательно,

Раскрывая произведения биномов и вычисляя суммарный коэффициент при приходим к следующему результату:

В общем случае подобная процедура позволяет получить рекуррентное соответствие между базисами Гельфанда — Цейтлина для Однако мы в дальнейшем укажем эту связь в иной форме, не зависящей от реализации на группе

Из однократности спектра сужения вытекает еще одно замечательное следствие, которое мы также сформулируем в виде теоремы:

Теорема 4. Пусть базисные операторы Казимира для подгруппы изоморфной Тогда операторы одновременно

диагонализуются в базисе и каждый индекс может быть однозначно занумерован совокупностью всех собственных значений операторов

Доказательство. Операторы являются скалярами на и их совокупные собственные значения характеризуют, как мы знаем, сигнатуру а, т. е. первую строку в схеме Точно так же являются скалярами на следовательно, диагонализуются в базисе при этом их собственные значения характеризуют вторую строку схемы Продолжая этот процесс, приходим на последнем шаге к оператору который является единственным инфинитезимальным оператором и собственное значение которого совпадает с параметром входящим в схему Теорема доказана.

Следствие. Всякий оператор, диагональный в весовом базисе может быть представлен в виде полинома от операторов

Действительно, пусть 6 — алгебра всех полиномов от операторов Всякий оператор диагонализуется в весовом базисе: и функции «разделяют» точки т. е. для каждой пары найдется функция такая, что Заменяя на подбираем таким образом, чтобы полученная функция принимала значение I в точке и значение в точке Полагая получаем символ Кронекера:

Следовательно, в алгебре содержится проектор на каждый базисный вектор Отсюда следует наше утверждение.

Пользуясь терминологией физиков, можем сказать, что элементы алгебры 6 образуют «полную систему наблюдаемых» в пространстве представления

Замечание. Если представление группы содержит неприводимые составляющие однократно,

то операторы образуют «полную систему наблюдаемых» также и в пространстве представления (действительно, подсистема «разделяет» ).