§ 63. Правило циклов

В заключение этой главы предложим еще один метод вычисления собственных значений операторов Казимира, который, в отличие от метода теоремы 2, специально

приспособлен для работы с симметризованными операторами Казимира. Развитие нового метода представляет интерес по той причине, что явная связь между изученными ранее операторами и симметризованными операторами практически является довольно сложной. Впрочем, вместо операторов нам будет удобнее рассматривать иную базисную систему операторов Казимира.

Используя снова вспомогательную числовую матрицу мы рассмотрим ее характеристический полином

коэффициенты которого выражаются хорошо известными формулами через диагональные миноры матрицы

Полином а вместе с ним и его коэффициенты являются инвариантами относительно присоединенного представления более того, как известно, полиномы являются образующими в алгебре Следовательно, мы получаем возможность рассматривать новые операторы Казимира:

которые являются образующими в алгебре Кружочек над знаком детерминанта означает при этом, что отдельные одночлены, возникающие при раскрытии детерминанта, вычисляются как коммутативные произведения с кружочком, например:

В дальнейшем мы укажем простую явную связь между образующими и образующими Наряду с операторами мы можем рассматривать также их линейную комбинацию

Полином будем называть производящим полиномом операторов Казимира. Переходя от абстрактных операторов к операторам представления, заменяем символы соответствующими заглавными символами

Полагая, в частности, мы рассмотрим оператор Казимира

от которого оператор отличается лишь несущественной заменой на Раскрывая этот детерминант, замечаем, что каждое его слагаемое имеет вид

где - произвольная подстановка индексов (знак определяется четностью или нечетностью этой подстановки). Поскольку умножение коммутативно, мы можем сгруппировать сначала сомножители вида затем сомножители вида где один из индексов, не содержащихся в первой цепочке, и т. д., что равносильно разбиению исходной подстановки на отдельные циклы. Введем теперь

Определение. Произведение вида

где среди индексов нет одинаковых, назовем циклом. Число назовем длиной этого цикла.

В частности, мы видим, что всякий детерминант Казимира является полиномом от циклов по отношению к умножению с кружочком; при этом перемножаемые циклы никогда не содержат общих индексов и потому взаимно перестановочны. Для наших целей существенно, что в произвольной ассоциативной алгебре X имеет место следующее

Правило умножения. Если базисные элементы, входящие в два разных одночлена

взаимно перестановочны, то эти одночлены также перестановочны, причем

Иначе говоря, для одночленов умножение с кружочками равносильно обычному умножению.

Действительно, согласно определению умножения с кружочком имеем

где и сумма распространяется на все перестановок сомножителей Условимся считать два слагаемых в этой сумме эквивалентными, если они получаются друг из друга перестановкой лишь тех сомножителей, которые входят в один и тот же одночлен Ясно, что каждый класс эквивалентности имеет слагаемых и число различных классов есть При вычислении суммы слагаемых каждого класса мы можем воспользоваться перестановочностью сомножителей, входящих в разные одночлены и расположить на первых местах

сомножители из на следующих местах — сомножители из При этом согласно определению эквивалентности на каждом из этих отрезков встречается по одному разу всякая возможная перестановка сомножителей данной группы. Следовательно, искомая сумма может быть записана в виде произведения где

Следовательно, каждый класс эквивалентности дает один и тот же вклад, равный и общая сумма вкладов есть Производя деление на входящее в символ получаем нужный результат. Отсюда, в частности, имеем

Следствие. Всякий детерминант Казимира является полиномом от циклов по отношению к обычному умножению.

Фиксируя некоторый цикл и применяя его к старшему вектору замечаем, что действие цикла добавляет к каждому весу слагаемое вида Следовательно, вес не изменяется и, в частности,

для каждого цикла Z. Покажем теперь, что собственное значение К для каждого цикла Z может быть сравнительно просто выражено в явном виде

Условимся считать, что циклическая система индексов, т. е. такая, в которой номер считается предшествующим, номеру 1, и пусть линейная цепочка тех же индексов, распределенных в новом порядке. Фиксируем целое число и будем использовать символы для чисел . Скажем, что инверсная цепочка порядка если

1° для каждой пары соседних индексов в вида индекс встречается в ранее

2° для каждой пары соседних индексов в вида индекс а встречается в ранее

При этом индексы могут быть как типа а, так и типа Из этого определения, в частности, следует, что

всякая цепочка из вида сохраняет свой порядок следования в а цепочка вида меняет порядок следования на обратный. Пусть число всех инверсных цепочек порядка

Докажем теперь, что имеет место

Теорема 5. Собственное значение каждого цикла Z на старшем векторе представления есть линейная функция от сигнатуры а. Если то собственное значение этого цикла имеет вид

где расположение индексов в порядке возрастания, и коэффициенты вычисляются формуле

где число инверсных цепочек порядка построенных по системе

Доказательство. Пусть произвольное слагаемое в цикле докажем, что собственное значение на старшем векторе является линейной функцией от а. Действительно, это верно, если цикл имеет длину 1. В общем случае заметим, что среди сомножителей одночлена всегда содержится хотя бы один повышающий оператор Записывая в виде дополнительные сомножители, переставим местами

Очевидно, первое слагаемое этой суммы аннулирует старший вектор Далее, нетрудно видеть, что второе слагаемое всегда представляется в виде разности двух одночленов, имеющих степень однородности и содержащихся в некоторых циклах длины Следовательно, наше утверждение доказывается по индукции.

Ввиду доказанного свойства линейности мы можем для каждой натуры представить искомое собственное значение в виде

где такое же собственное значение в базисном представлении Реализуем представление в классе функций от векторов-строк и условимся использовать сокращенное обозначение

для произвольного минора порядка, составленного из этих строк. В частности, минор явтяется старшим вектором представления Поскольку преобразования группы О сводятся к умножению векторов и справа на легко находим, что в этом случе

Применение такого оператора к минору равносильно замене индекса под знаком минора на индекс (либо обращению в нуль этого минора, если не содержится среди индексов Мы получаем удобную схему для применения икфинитезимальных операторов

Рассмотрим теперь систему операторов входящих в определение цикла Z, и вычислим действие на вектор произвольного одночлена вида

где подстановка индексов Нетрудно видеть, что только в том случае, когда инверсная цепочка порядка Действительно, допустим, что применение операторов в указанном порядке приводит после некоторого числа шагов к ненулевому минору Пусть символы относятся соответственно к числам и Дальнейшее применение оператора может привести к нулевому результату только в следующих случаях: 1) пара имеет вид и оператор стоит левее (т. е. индекс еще не появился на схеме пара имеет вид и оператор стоит правее (т. е. индекс а уже смещен со схемы ); 3) пара имеет вид и оператор стоит левее (в этом случае индекс а еще не смещен со схемы и применение приводит к появлению двух одинаковых столбцов под знаком минора Но все эти случаи исключаются, если инверсная цепочка. Применение оператора к вектору приводит в этом случае к циклической перестановке

всех индексов ось входящих как в цепочку так и в схему Следовательно,

где функция и функция имеют, очевидно, скачки только в точках (причем меняется ровно на единицу). Заметим также, что где и также при ; кроме того, Располагая индексы в возрастающем порядке находим, что разлагается только по функциям вида

где Отсюда легко получается формула, указанная в условиях теоремы. Теорема доказана.

Пример 1. Если и 3, то соответствующее собственное значение не зависит, как легко проверить, от порядка индексов и имеет вид

Пример 2. Если то числа относятся к типу к типу Подстановка является инверсной, если стоит на первом, на последнем месте, а остальные чисел распределяются между ними как угодно, но с убыванием чисел типа а и с возрастанием чисел типа Ясно, что в этом случае где число сочетаний из по I, и мы находим

Полученное выражение есть конечная разность порядка, построенная из чисел

Пример 3. Для вычисления собственного значения мы раскрываем миноры под знаком оператора

и заменяем каждый цикл соответствующим собственным значением (пример 1); в результате получим

Аналогично вычисляем также и функцию

В общем случае естественно сразу рассматривать Если не слишком велико, то «правило циклов», даваемое теоремой 5, позволяет легко подсчитать функцию Если в операторе заменить каждый цикл длины 1 оператором и каждый цикл длины оператором то отсюда непосредственно получаем собственное значение производящего полинома Отсюда разложением по к находим все остальные функции

В заключение заметим, что между характеристическим полиномом числовой матрицы и следами ее степеней существует хорошо известное соотношение, перефразируя которое на язык операторов Казимира получаем тождество

где производная по А, и в правой части стоит формальный степенной ряд. Отсюда, умножая на находим рекуррентные формулы

Те же формулы имеют место при замене элементов соответствующими собственными значениями В частности, зная мы находим значения как коэффициенты аналитической функции

Очевидно, величины равно как и «разделяют» систему неприводимых представлений группы

Квадратичные операторы, перестановочные с элементами универсальной обертывающей алгебры X, были впервые введены Казимиром [93] для чисто алгебраического решения вопроса о полной приводимости конечномерных представлений. В дальнейшем подобные операторы, уже не обязательно квадратичные, стали называть «операторами Казимира» или «операторами Лапласа». Общий метод описания алгебры этих операторов в терминах полиномов, инвариантных относительно присоединенного представления, был предложен И. М. Гельфандом [64]. Мы приводим все эти конструкции в общем виде (с иллюстрацией на примере полученными результатами воспользуемся в дальнейшем при изучении произвольной компактной группы Ли.

При вычислении собственных значений операторов Казимира мы используем традиционный метод (применение к старшему вектору), который неоднократно применялся математиками и физиками. В изложении § 60 мы следовали результатам недавней работы А. М. Переломова и В. С. Попова [122]; заметим, что эта работа была стимулирована вниманием физиков-теоретиков к операторам Казимира. Симметрия относительно перестановок возникает при этом несколько неожиданно (следствие 1 из теоремы 2). В дальнейшем будет указано иное доказательство свойства симметрии (§ 126). Рассмотрение детерминантов Казимира и «правило циклов» были предложены (без доказательства) в лекциях автора [21]; здесь мы излагаем этот метод несколько подробнее, с исправлением неточностей, допущенных в [21]. В § 126 будет описан еще один общий метод вычисления собственных значений операторов Казимира.