§ 59. Операторы Казимира для группы GL(n)

Пусть, в частности, X — алгебра всех комплексных матриц порядка, т. е. алгебра Ли группы Выбирая в X стандартный базис из элементов напомним прежде всего, что оператор

является (как отмечалось в § 57) одним из операторов Казимира. В этом случае и оператор является (как легко проверить) единственным (с точностью до множителя) оператором Казимира, принадлежащим самой алгебре

Для построения иных операторов Казимира допустим вначале, что в X содержится некоторая система

элементов которые преобразуются подобно элементам по отношению к присоединенному представлению таких, что

Тогда, очевидно, сумма диагональных элементов будет оператором Казимира в Далее, пусть две такие системы элементов. Положим

где предполагается суммирование по индексу Нетрудно проверить, что гц снова образуют систему указанного типа, и это позволяет нам построить целую серию подобных систем, исходя из базиса системы

Свертывая далее по индексам получаем серию операторов Казимира:

где предполагается суммирование по каждому индексу Полученную формулу можно рассматривать как формальное выражение следа для матрицы где матрица из (некоммутирую-щих) базисных элементов.

Заметим, что если бы матрица была числовой, то все степени линейно выражались бы через с коэффициентами, полиномиально зависящими от (следствие формулы Кэли — Гамильтона). В этом случае мы могли бы заключить, что полиномиально выражаются через Однако в нашем случае мы не можем сразу заключить о выполнении подобного соотношения.

Отметим также очевидные обобщения использованного нами приема для произвольной алгебры X с универсальной обертывающей алгеброй Прежде всего, имеет место

Правило 1. Пусть представление сводится в некоторых инвариантных конечномерных подпространствах к контрагредиентным друг другу представлениям Формула

где дуальные базисы по отношению к определяет в этом случае оператор Казимира в алгебре Здесь предполагается суммирование по от 1 до где Действительно, используя «пгавило дифференцирования», находим

в силу равенства выражающего контрагредиентность Следовательно, с — центральный элемент.

С другой стороны, согласно определению алгебры представление является частью представления где и

сомножителей), причем означает сужение на подпространство Следовательно, для описания всех операторов Казимира достаточно перечислить все инфинитезимальные инварианты в представлениях

Отсюда, в частности, получаем Правило 2. Если представление неприводимо, а вполне приводимо при то всякий оператор Казимира в алгебре есть линейная комбинация операторов вида

(сумма по от до где произвольный базис в алгебре X и — совокупность элементов, преобразующихся контрагредиентно по отношению к

Действительно, и для перечисления всех инфинитезимальпых инвариантов в достаточно выделить из все неприводимые компоненты, конграгредиентные

В частности, если то представление является дифференциалом представления

группы действующего в классе всех матриц с нулевым следом. Предоставляем читателю доказать (используя, например, метод Z-инвариантов), что это представление неприводимо. Кроме того, вполне приводимо (как аналитическое представление надкомпактной группы). Следовательно, правило 2 в этом случае применимо. Если то, очевидно, в этом случае

где сужение на подпространство матриц с нулевым следом. Слагаемое соответствует найденному ранее оператору Казимира

Используя правило 2, можно было бы (для случая показать, что найденные выше операторы Казимира являются образующими в центре алгебры ; однако мы это сделаем иным путем в § 61.

Рассмотрим теперь произвольное представление алгебры X и продолжим его до представления всей

алгебры 3? (см. конец § 58). Если оператор соответствует базисному элементу то оператор

(суммирование по является оператором Казимира, соответствующим центральному элементу Если, в частности, рассматривать неприводимое представление с сигнатурой то находим в этом случае

где символом обозначена константа, к умножению на которую в данном случае сводится оператор Таким образом, каждому ставится в соответствие числовая функция

Поскольку оператор кратен единичному в то для вычисления достаточно применить к любому фиксированному вектору из пространства представления Мы можем, в частности, в качестве выбрать старший вектор, для которого

Отсюда непосредственно получаем значение вычисления запишем оператор в виде суммы трех слагаемых:

Последнее слагаемое этой суммы обращается в нуль на векторе Второе слагаемое с помощью соотношений коммутации может быть приведено к тому же виду с добавочным членом

Заменяя каждый оператор умножением на получаем следующий результат:

При помощи подобных построений легко находим, что является полиномом от степени со старшим членом однако остальные его коэффициенты вычисляются сравнительно сложно.

Поставим теперь задачу о полном описании всех полиномов Заметим, что существенную роль в постановке этой задачи играет то обстоятельство, что все операторы в различных представлениях имеют одинаковую полиномиальную структуру, определяемую символом следовательно, и зависит только от Поэтому решение данной задачи дает нам также информацию о возможных значениях спектра в произвольном конечномерном представлении алгебры