§ 109. Старшие веса и сигнатуры

Назовем характер группы индуктивным, если он является старшим весом одного из неприводимых представлений группы G. Пространство канонической модели обозначим и само неприводимое представление со старшим весом обозначим символом Для полного описания всех возможных неприводимых представлений группы G осталось перечислить все индуктивные характеры. Отметим пока только их простейшие свойства.

1° Если характеры являются индуктивными, то характер также является индуктивным, причем

где правая часть означает линейную оболочку всевозможных функций вида

Доказательство. Достаточно заметить, что пространство конечномерно и инвариантно относительно системы операторов

где положено кроме того, единственным старшим вектором в этом пространстве является функция Используя принцип полной приводимости, заключаем, что неприводимо. Очевидно, старшим весом в этом пространстве является

Следствие. Неприводимые представления группы G образуют полугруппу относительно умножения старших весов.

Неприводимое представление отвечающее характеру назовем произведением Юнга представлений и условимся писать

Замечание. Как видно из представление содержится в тензорном произведении Как увидим в дальнейшем (§ 131), оно содержится в этом произведении однократно и является «старшим» относительно некоторой лексикографической упорядоченности. Отсюда вытекает возможность иного определения произведения Юнга.

Условимся вначале рассматривать для простоты только (комплексно) аналитические представления группы G. Запишем произвольный аналитический характер в виде экспоненты:

где координаты вектора относительно некоторого фиксированного базиса в картановской подалгебре Если характер является индуктивным, то вектор мы называем сигнатурой, а линейную форму инфинитезимальным старшим весом представления

Заметим, что является собственным значением (на старшем векторе инфинитезимального оператора отвечающего произвольному вектору Очевидно, умножению Юнга отвечает сложение соответствующих сигнатур.

Пусть редуктивная связная подгруппа в группе G и разложение Гаусса в группе G индуцирует разложение Гаусса в подгруппе т. е.

где пересечения группы с подгруппами соответственно. Сужение всякого характера на подгруппу при назовем проекцией характера на подгруппу

2° Если характер индуктивен для группы то его проекция индуктивна для подгруппы G причем

где правая часть означает совокупность всех сужений при

Доказательство. Достаточно заметить, что пространство инвариантно относительно и единственным старшим вектором в этом пространстве является функция Отсюда следует, что неприводимо. Очевидно, старшим весом в этом пространстве является

Представление мы условимся называть проекцией представления на подгруппу

Замечание. Как видно из последнего доказательства, содержится в сужении на подгруппу

В дальнейшем мы увидим (§ 128), что содержится в однократно и является «старшим» в этом разложении относительно некоторой лексикографической упорядоченности. Отсюда вытекает возможность иного определения проекции.

Определение проекции удобно сформулировать также в терминах алгебры Ли. Пусть X — редуктивная комплексная алгебра Ли и — ее редуктивная подалгебра, причем разложение Картана — Вейля в алгебре X индуцирует разложение Картана — Вейля в подалгебре где пересечения алгебры с подалгебрами соответственно (Я означает картановскую подалгебру).

3° Если вектор I является сигнатурой для алгебры X, то его ортогональная проекция на является сигнатурой для подалгебры

Доказательство. Достаточно заметить, что старший вектор представления является также старшим вектором относительно подалгебры и при мы имеем где 1° — ортогональная проекция вектора I на подалгебру Пространство представления является циклической оболочкой вектора относительно инфинитезимальных операторов подалгебры

В частности, пусть трехчленная подалгебра в алгебре X, натянутая на векторы , где — произвольный положительный корень в алгебре Проекция в этом случае одномерна, и индуктивность по отношению к алгебре 60 накладывает определенные ограничения на сигнатуру I.

Действительно, положим ; тогда, как мы видели в § 92, соответствующий инфинитезимальный оператор может принимать на старшем векторе только полуцелые неотрицательные значения. Отсюда получаем:

4° Если вектор I является сигнатурой, то для любого положительного корня число должно быть целым неотрицательным.

В частности, пусть — один из простых корней алгебры Проекции мы будем называть числовыми отметками вектора

5° Если вектор I является сигнатурой, то все его числовые отметки должны быть целыми неотрицательными.

Если алгебра X полупроста, то числовые отметки являются координатами вектора I относительно некоторого базиса в алгебре (дуального к векторам . В этом случае, как увидим в дальнейшем, условие 5° является не только необходимым, но и достаточным для индуктивности характера