§ 18. Элементарные гармоники

Согласно результатам предыдущего параграфа мы можем ограничиться рассмотрением функций на «универсальном однородном пространстве» Задача состоит в классификации этих функций по отношению к

правому сдвигу:

Имея в виду аналогию с рядами Фурье, постараемся прежде всего ответить на вопрос: какие функции естественно считать «элементарными гармониками» на Согласно той же аналогии мы можем исходить из определяющего уравнения элементарных гармоник

где функция является аналогом собственного значения теории рядов Фурье. При этом, очевидно, функция является гомоморфизмом, или «обобщенной экспонентой», на G.

Если считать числовой функцией, то мы далеко не на всякой группе получим достаточно богатый запас элементарных гармоник. Действительно, выше отмечалось, что некоторые группы вообще не имеют числовых экспонент, кроме Поэтому естественно считать, что -произвольное неприводимое конечномерное либо даже бесконечномерное представление группы G.

Встав на эту точку зрения, мы можем сразу же отметить следующее очевидное обстоятельство. Согласно общей формуле

операторная функция сама является «собственной функцией» оператора Желая вместо операторной функции рассматривать числовые, мы положим

где произвольный вектор из пространства представления — произвольный вектор из сопряженного линейного пространства и скобка (х,у) означает билинейную форму между этими пространствами.

Функции называются матричными элементами представления Матричные элементы всевозможных неприводимых представлений группы G называются для краткости также матричными элементами группы G. Естественно ожидать, что всякая элементарная

гармоника является матричным элементом или линейной комбинацией матричных элементов группы G.

Замечание. Пусть — конечномерное представление и фиксированный базис в пространстве представления. Тогда имеем

Если линейный функционал, равный единице на и нулю на всех остальных базисных векторах, то мы имеем

где скобка в правой части означает применение функционала Следовательно, функции являются матричными элементами группы G.

Изложенная выше гипотеза о матричных элементах легко доказывается в том случае, когда «собственное значение» является конечномерным представлением. Действительно, пусть базисная система элементарных гармоник, преобразующихся согласно Тогда имеем

где -соответствующая матрица оператора Полагая, в частности, и опуская индекс элемента мы находим

Здесь Согласно сделанному выше замечанию функции являются матричными элементами группы G. Мы видим, что элементарные гармоники являются линейными комбинациями матричных элементов.

С другой стороны, естественно предположить, что всякое неприводимое представление содержится в регулярном. В частности, если конечномерное представление, то, полагая при

фиксированном мы имеем

Следовательно, функции преобразуются по закону и для конечномерных представлений наше утверждение доказано. Желая исследовать случай бесконечномерных представлений, мы вначале уточним определение неприводимости.

Представление в линейном топологическом пространстве V называется топологически неприводимым, если в V не существует замкнутого инвариантного подпространства, отличного от и При этом мы предполагаем, что функция непрерывна на V хотя бы в смысле слабой топологии пространства

Теорема 3. Всякое топологически неприводимое представление группы G может быть вложено в правое регулярное представление группы определенное в классе непрерывных функций на G.

Доказательство. Фиксируем ненулевой линейный функционал из сопряженного пространства Каждому поставим в соответствие числовую функцию

на группе G. Тогда элементу соответствует функция Пусть множество всех получаемых таким образом функций Если на группе то мы имеем

Замыкание линейной оболочки векторов о инвариантно относительно и отлично от V (поскольку ортогонально Ввиду неприводимости это замыкание содержит только вектор 0. Следовательно,

Мы показали, что отображение между взаимно однозначно. Кроме того, при этом отображении операция переходит в Теорема доказана.

Замечание. Для конечномерных представлений рассуждения, изложенные выше, позволяют получить следующий более точный результат. Неприводимое представление содержится в регулярном столько раз, какова его размерность. Действительно, пусть линейная оболочка всех функций при фиксированном Выше было показано, что всякая элементарная гармоника, преобразующаяся согласно содержится в геометрической сумме подпространств В конце этой главы будет показано, что подпространства линейно независимы. Их число равно размерности и в каждом из них представление сводится к

Все изложенные выше построения, разумеется, играют роль наводящих рассуждений. Остается еще фундаментальный вопрос о разложимости на неприводимые представления. Мы опишем сейчас один из наиболее естественных путей решения этого вопроса.

Пусть правоинвариантная мера Хаара на группе G. Как мы видели в § 7, такая мера существует, во всяком случае на произвольной группе Ли. Положим

где интеграл понимается в смысле Лебега. Множество состоящее из всех измеримых функций для которых является гильбертовым пространством. Формула

определяет скалярное произведение в этом пространстве. Используя правую инвариантность меры сразу получаем, что т. е. правое регулярное представление унитарно.

Согласно теореме 1 мы можем теперь заключить о том, что представление вполне приводимо. Отсюда появляется надежда, что разлагается на неприводимые представления.

Обращение к классическим примерам прямой и окружности показывает, однако, что при этом могут

встретиться дополнительные аналитические трудности. Действительно, на окружности элементарные гармоники содержатся в гильбертовом пространстве и образуют его ортогональный базис. В то же время на прямой элементарные гармоники неинтегрируемы с квадратом модуля. Тем не менее хорошо известна процедура, приводящая к интегралам Фурье. В следующей главе мы сумеем выделить группы, ситуация для которых сходна с ситуацией окружности, и построить для них обобщение гармонического анализа.