§ 35. Универсальность группы U(n)

Подобно тому как симметрическая группа является, согласно теореме 6, «универсальной» в классе конечных групп, мы получаем (из глобальной теоремы), что унитарная группа обладает аналогичным свойством «универсальности» в классе компактных групп Ли:

Теорема 7. Всякая компактная группа Ли изоморфна некоторой подгруппе в группе (при достаточно большом

Действительно, всякая компактная группа Ли обладает точным линейным представлением и всякое ее линейное представление унитарно (свойства 1 и 3 из глобальной георемы). Полученная теорема делает значительно более доступной задачу о классификации (с точностью до изоморфизма) всех компактных групп Ли; действительно, для этого достаточно перечислить все возможные замкнутые подгруппы в группе Однако такая задача еще является достаточно сложной. К вопросу о классификации мы перейдем только в гл. XVI. В настоящее время нас в первую очередь будет интересовать сама унитарная группа ее структура и структура всех ее неприводимых представлений. (Ограничение этой задачей естественно не только с точки зрения универсальности но и с точки зрения сравнительной простоты в работе с этой группой.)

В заключение этой главы перечислим без доказательства некоторые свойства компактных групп.

1° Всякая компактная топологическая группа имеет лишь конечное число связных листов. В частности, всякая дискретная компактная группа конечна.

Доказательство этого утверждения предоставляется читателю.

2° Всякая коммутативная связная компактная группа Ли изоморфна группе движений -мерного тора. В частности, всякая однопараметрическая замкнутая подгруппа в любой компактной группе Ли изоморфна группе вращений окружности.

См. по этому поводу более общее утверждение на стр. 40.

Замечание. Существенно отметить, что компактная группа Ли может содержать некомпактные подгруппы. Типичным примером является иррациональная обмотка тора (§ 15). Такая подгруппа является бесконечной однопараметрической подгруппой в группе движений тора. Замыкание совпадает со всей группой движений тора. Заметим, что последнее верно также, если вместо рассматривать дискретную подгруппу элементов где Всякий элемент степени которого образуют всюду плотное множество в мы условимся в дальнейшем называть иррациональной образующей группы G. Согласно сказанному выше всякая коммутативная связная компактная группа Ли обладает иррациональной образующей. Однопараметрическая подгруппа в компактной группе G является замкнутой только в том случае, когда функция периодична с некоторым периодом в этом случае группа изоморфна окружности.

3° Универсальная накрывающая всякой компактной группы Ли с дискретным центром снова является компактной группой Ли. Центр этой группы конечен.

Это утверждение, принадлежащее Г. Вейлю [61], доказывается наиболее сложно (см. § 103). Как следствие из 3° можно получить, что существует лишь конечное число компактных связных групп Ли, локально изоморфных между собой.

К перечисленным свойствам ограниченности и конечности мы могли бы добавить еще замечательные свойства конечности и дискретности, содержащиеся в глобальной теореме. В ряде случаев из этих общих свойств удается получить практический критерий дискретности спектра некоторых линейных операторов, допускающих компактную группу симметрии, а также утверждение о конечной кратности их собственных значений. В частности, унитарная группа как группа симметрии встречается в некоторых важных задачах теоретической физики.

Нашей ближайшей задачей является несколько более подробное изучение системы элементарных гармоник группы

Исторически первым классом групп, для которых была построена теория представлений, явились конечные группы. Перенос этой теории на компактные группы Ли (в определенном смысле «наиболее близкие к конечным») был осуществлен в работе Ф. Петера и Г. Вейля [124]. Первоначальное доказательство «основной аппроксимационной теоремы», данное этими авторами, существенно использовало интегральный оператор свертки на компактной группе G. В том варианте доказательства, который дается в этой главе, мы используем такой оператор лишь однажды (§ 31), при доказательстве линейности группы G. Более подробное изложение теории конечных групп и их представлений можно найти в [3], [27], [31], [34], [41]. Общие вопросы изложены в [9], [10], [46], [61].