§ 22. Групповые алгебры и их представления

В предыдущих рассмотрениях настоятельно чувствовалась необходимость «расширения» группы до алгебры, т. е. введения дополнительных линейных операций. Эта процедура может быть осуществлена весьма различными способами.

1° Свободная линейная оболочка. Если абстрактная группа, то мы можем рассматривать формальные линейные комбинации

где произвольное число (ограниченное, если группа конечна). Это равносильно построению линейного пространства С, в котором элементы группы G играют роль (алгебраического) базиса. Избавляясь от индекса мы можем записывать линейные комбинации х в виде

суммы

где функция принимает ненулевые значения лишь в конечном числе точек группы G. Если Для элементов х, у естественно рассматривать произведение

и линейное пространство С становится ассоциативной алгеброй, которая называется свободной линейной оболочкой группы G. Если заменить под знаком двойной суммы обозначение обозначением то по-прежнему пробегает группу G при каждом фиксированном Приравнивая коэффициенты, находим

Полученная формула может быть интерпретирована как «свертка» функций на группе G и определяет закон умножения в алгебре С. Заметим также, что

Если представление группы то формула

позволяет продолжить представление до представления алгебры С. Эта конструкция часто оказывается удобной. Если группа G конечна и имеет порядок (т. е. содержит элементов), то алгебра С имеет размерность В этом случае алгебра С называется групповой алгеброй группы G.

2° Групповые алгебры функций. Если группа G обладает мерой Хаара то мы можем рассматривать свертку

двух произвольных функций для которых такой интеграл существует. Если Х - линейное пространство функций на для всех элементов которого свертка существует и содержится в X, то X становится алгеброй, которая также называется групповой алгеброй группы G. Если представление группы то формула

позволяет перейти от представления к представлению алгебры Действительно, как легко проверить,

при условии, что мы имеем право осуществлять перемену порядка интегрирования в данном классе функций.

Если группа Ли, то подобная конструкция возможна не только для обычных функций, но также для мер и обобщенных функций на группе однако на этом сейчас останавливаться не будем.

3° Ассоциативная оболочка алгебры Ли. Алгебра Ли является по определению линейным пространством, но не является ассоциативной алгеброй относительно умножения. Иногда чрезвычайно удобно бывает расширить ее до ассоциативной алгебры , вводя умножение со следующим правилом коммутации:

где — коммутатор в алгебре Ли. В частности, это означает, что для каждого базиса в алгебре Ли выполняются тождества

где с — структурные константы алгебры Ли.

Если — некоторое представление алгебры Ли, т. е. если отображение линейно и сохраняет закон коммутации, то ясно, что функцию можно продолжить по правилу

до представления всей ассоциативной оболочки . Ассоциативная оболочка называется также универсальной обертывающей алгеброй алгебры Ли.

Интересно отметить, что алгебра оказывается изоморфной алгебре обобщенных функций на группе G с носителем в точке

Все эти конструкции, чрезвычайно интересные для теории представлений, мы вводим пока лишь формально, в виде общих определений. Некоторые из них, например групповая алгебра конечной группы и универсальная обертывающая алгебра алгебры Ли, будут существенно использованы в дальнейшем.